Espace vectoriel L(E,F)
Rappel :
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels.
L'ensemble des applications de \(E\) dans \(F\), noté \(A(E,F)\), est muni d'une loi de composition interne + et d'une loi de composition externe définies de la façon suivante :
\(f, g\) étant deux éléments de \(A(E,F)\), et \(\lambda\) étant un élément de \(\mathbf K\), pour tout vecteur \(u\) de \(E\),
\((f+g)(u) = f(u) + g(u)\) et \((\lambda f)(u) = \lambda f(u)\)
\(F\) étant un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, l'ensemble des applications de \(E\) dans \(F\), noté \(A(E,F)\) est un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel.
Théorème : Structure de L(E, F)
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels, l'ensemble des applications linéaires de \(E\) dans \(F\), noté \(L(E,F)\), muni des deux lois définies précédemment, est un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel.
Preuve :
L'ensemble \(L(E,F)\) est inclus dans l'ensemble \(A(E,F)\).
Pour montrer que \(L(E,F)\) est un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, il suffit donc de montrer que \(L(E,F)\) est un sous-espace vectoriel de \(A(E,F)\) :
L'application nulle appartient à \(L(E,F)\), donc \(L(E,F)\) est non vide.
Soient \(f, g\) deux éléments de \(L(E,F)\), et \(\lambda\) un élément de \(\mathbf K\). Pour tous vecteurs \(u\) et \(v\) de \(E\) et pour tous scalaires \(\alpha\), \(\beta\) de \(\mathbf K\),
\(\begin{array}{rcll}(f+g)(\alpha u + \beta v) &=& f(\alpha u + \beta v) + g(\alpha u + \beta v) &(\textrm{d\'efinition de }f+g)\\&=& \alpha f(u) + \beta f(v) + \alpha g(u) + \beta g (v) &(\textrm{lin\'earit\'e de }f\textrm{ et }g)\\&=& \alpha (f(u) + g(u)) + \beta (f(v) + g(v)) &(\textrm{propri\'et\'es des lois de }F)\\&=& \alpha (f+g) (u) + \beta (f+g) (v) &(\textrm{d\'efinition de }f+g)\end{array}\)
\(f+g\) est donc linéaire et \(L(E,F)\) est stable pour l'addition.
\(\begin{array}{rcll}(\lambda f)(\alpha u + \beta v) &=& \lambda f(\alpha u + \beta v)&(\textrm{d\'efinition de }\lambda f)\\&=& \lambda(\alpha f(u) + \beta f(v))&(\textrm{lin\'earit\'e de }f)\\&=& (\lambda \alpha) f(u) + (\lambda \beta) f(v)&(\textrm{propri\'et\'es des lois de }F)\\&=& \alpha (\lambda f(u) + \beta (\lambda f (v))&(\textrm{propri\'et\'e de la loi externe de }F)\\&=& \alpha (\lambda f)(u) + \beta (\lambda f)(v) &(\textrm{d\'efinition de }\lambda f)\end{array}\)
\(\lambda f\) est donc linéaire et \(L(E,F)\) est stable pour la loi externe.
\(L(E,F)\) est donc un sous-espace vectoriel de \(A(E,F)\).