Cas où E=F - Structure de L(E)
Les propriétés de \(L(E, F)\) étudiées dans le cas général sont évidemment encore vraies lorsque \(E = F\), mais la structure de \(L(E)\) est beaucoup plus riche du fait des propriétés de la composition des endomorphismes.
Propriété : 1) Espace vectoriel L(E)
\(E\) et \(F\) étant deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels, l'ensemble des applications linéaires de\( E\) dans \(F\), noté \(L(E,F)\), muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire est un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel. Dans le cas particulier où \(E = F\), l'ensemble \(L(E,F)\) est l'ensemble des applications linéaires de \(E\) dans \(E\), c'est-à-dire l'ensemble des endomorphismes de \(E\), noté \(L(E)\).
L'ensemble \(L(E)\) muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire est donc un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel.
Propriété : 2) La loi ° est une loi de composition interne dans L(E)
Soient \(E, F, G\) trois \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels.
Si \(f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(F\) et \(g\) une application linéaire de \(F\) dans \(G\), alors l'application \(g \circ f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(G\). Donc, si \(f\) et \(g\) sont deux endomorphismes de \(E\), on peut définir les deux applications \(f \circ g\) et \(g \circ f\) et ce sont des endomorphismes de \(E\).
L'ensemble \(L(E)\) est donc muni d'une deuxième loi de composition interne, la loi \(\circ\).
D'après les propriétés de la composition des applications linéaires vues au paragraphe précédent, la loi \(\circ\) possède dans \(L(E)\) les propriétés 3 et 4 suivantes.
Propriété : 3) La loi ° est distributive par rapport à l'addition
C'est-à-dire
\(\begin{array}{rcl}\forall (f,g,h) \in (L(E))^3, f \circ (g+h) &=& f \circ g + f \circ h\\ (g+h) \circ f &=& g \circ f + h \circ f\end{array}\)
Propriété : 4) La loi ° vérifie :
\(\forall \alpha \in \mathbf K, \forall (f,g) \in (L(E))^2, (\alpha g) \circ f = g \circ ( \alpha f) = \alpha (g \circ f)\)
D'après les propriétés de la composition des applications, on a aussi les propriétés suivantes :
Propriété : 5) La loi ° est associative dans L(E)
Propriété : 6) L'application identique, noté , est élément neutre pour la loi °
C'est-à-dire \(\forall f \in L(E), f \circ Id_E = Id_E \circ f =f\)
Les propriétés 1-2-3-4-5-6 permettent de dire que l'ensemble\( L(E)\), muni de l'addition, de la multiplication par un scalaire et de la composition des applications, a une structure d'algèbre unitaire sur \(\mathbf K\).
Attention :
la loi ° n'est pas en général commutative dans\( L(E)\).
Exemple :
soient \(f\) et \(g\) les endomorphismes de \(\mathbb R^2\) définis par
\(f((x,y)) = (x,0)\) et \(g((x,y)) = (y,0)\),
alors\( f \circ g ((x,y)) = (y,0)\) et \(g \circ f((x,y)) = (0,0)\).
Complément : Notation
\(f \circ f\) est noté \(f^2\). On définit de même par récurrence \(f^n\), pour n entier naturel non nul.