Composition de deux applications linéaires
Proposition : composée de deux applications linéaires
Soient \(E, F, G\) trois \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels, \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\) et \(g\) une application linéaire de \(F\) dans \(G\), alors \(g \circ f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(G\).
Autrement dit, la composée de deux applications linéaires est linéaire.
Preuve :
Soient \(u\) et \(v\) deux vecteurs de \(E\), \(\alpha\) et \(\beta\) deux éléments de \(\mathbf K\),
\(\begin{array}{rcll}g \circ f (\alpha u + \beta v) &=& g(f ( \alpha u + \beta v)) &(\textrm{d\'efinition de }g \circ f)\\&=& g (\alpha f(u) + \beta f(v)) &(\textrm{lin\'earit\'e de }f)\\&=& \alpha g (f(u) + \beta g (f(v))&(\textrm{lin\'earit\'e de }g)\\&=& \alpha g \circ f(u) + \beta g \circ f(v) &(\textrm{d\'efinition de } g \circ f)\end{array}\)
Attention :
Si les espaces vectoriels \(E\) et \(G\) sont distincts, on ne peut pas définir l'application \(f \circ g\)
Proposition : Propriétés de la composition d'applications linéaires
Soient \(E, F, G\) trois \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels.
\(\forall (f_1, f_2) \in L(E,F) \times L(E,F), \forall g \in L(F,G), g \circ (f_1 + f_2) = g \circ f_1 + g \circ f_2\)
\(\forall f \in L(E,F), \forall (g_1, g_2) \in L(F,G) \times L(F,G), (g_1 + g_2) \circ f = g_1 \circ f + g_2 \circ f\)
\(\forall \alpha \in \mathbf K, \forall f \in L(E,F), \forall g \in L(F,G), (\alpha g) \circ f = g \circ (\alpha f) = \alpha (g \circ f)\)
Preuve : Preuve de 1
\(\forall (f_1, f_2) \in L(E,F) \times L(E,F), \forall g \in L(F,G), g \circ (f_1 + f_2) = g \circ f_1 + g \circ f_2\)
Pour tout vecteur \(u\) de \(E\),
\(\begin{array}{rcl}(g \circ (f_1 + f_2)) (u) &=& g((f_1 + f_2)(u))\\&=& g(f_1(u) + f_2 (u))\\&=& g(f_1(u)) + g(f_2 (u))\end{array}\)
La dernière égalité utilise la linéarité de \(g\). Les autres égalités se déduisent de la définition de la loi \(\circ\) et de la loi \(+\).
\(\begin{array}{rcl}(g \circ (f_1 + f_2))(u) &=& (g \circ f_1) (u) + (g \circ f_2) (u)\\&=& (g \circ f_1 + g \circ f_2) (u)\end{array}\)
Remarque :
Cette démonstration utilise la linéarité de \(g\), mais pas celles de \(f_1\) et \(f_2\).
Preuve : Preuve de 2
\(\forall f \in L(E,F), \forall(g_1, g_2) \in L(F,G) \times L(F,G), (g_1 + g_2) \circ f = g_1 \circ f + g_2 \circ f\)
Pour tout vecteur \(u\) de \(E\),
\(\begin{array}{rcl}((g_1 + g_2) \circ f) (u) &=& (g_1 + g_2) (f(u))\\&=& g_1 (f(u)) + g_2 (f(u))\\&=& (g_1 \circ f) (u) + (g_2 \circ f)(u)\end{array}\)
Ces égalités se déduisent de la définition de la loi \(\circ\) et de la loi \(+\).
Remarque :
Cette démonstration n'utilise pas de linéarité.
Preuve : Preuve de 3
La formule \((\alpha g) \circ f = \alpha(g \circ f)\) n'utilise pas de linéarité.
La formule \(g \circ (\alpha f) = \alpha (g \circ f)\) utilise la linéarité de \(g\).
Démonstration :
Pour tout vecteur \(u\) de \(E\),
\(((\alpha g) \circ f)(u) = (\alpha g) (f(u)) = \alpha g (f(u)) = \alpha (g(f(u))) = \alpha(g \circ f)(u)\).
Ces égalités se déduisent de la définition de la loi \(\circ\) et de la multiplication d'une application par un scalaire.
\((g \circ (\alpha f))(u) = g(\alpha f(u)) = \alpha g (f(u))\) (la dernière égalité utilise la linéarité de \(g\)),
d'où \((g \circ (\alpha f))(u) = \alpha (g \circ f)(u)\).
Proposition : Linéarité de l'application réciproque d'un isomorphisme
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels, si \(f\) est un isomorphisme de \(E\) sur \(F\), alors \(f^{-1}\) est un isomorphisme de \(F\) sur \(E\).
Preuve :
\(f\) étant une application bijective de \(E\) sur \(F\), \(f^{-1}\) est une application bijective de \(F\) sur \(E\). Il reste donc à prouver que \(f^{-1}\) est bien linéaire.
Soient \(u'\) et \(v'\) deux vecteurs de \(F\), \(\alpha\) et \(\beta\) deux éléments de \(\mathbf K\), on pose
\(f^{-1}(u') = u\) et \(f^{-1} (v') = v\) on a alors \(f(u) = u'\) et \(f(v) = v'\).
\(f^{-1} (\alpha u' + \beta v') = \alpha u + \beta v\) car \(f^{-1} \circ f = Id_E\)
(\(Id_E\) désigne l'application identique de \(E\) dans \(E\) : \(\forall u \in E, Id_E (u) = u)\)
donc \(f^{-1} (\alpha u' + \beta v') = \alpha f^{-1} = \alpha f^{-1} (u') + \beta f^{-1}(v')\)
\(f^{-1}\) est donc linéaire
Complément : Vocabulaire
La proposition précédente prouve donc que s'il existe un isomorphisme de \(E\) sur \(F\), alors il existe aussi un isomorphisme de \(F\) sur \(E\).
Les deux espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sont dits isomorphes.