Rappel sur l'orthogonalité au sens de la dualité
L'étude de la dualité fait apparaître aussi une notion d'orthogonalité :
si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), l'orthogonal de \(F\) au sens de la dualité, que l'on note ici \(F^0\) pour éviter toute confusion, est le sous-espace vectoriel de \(E^*\) défini ainsi : \(F^0=\{l\in E^*/\forall x\in F, l(x)=0\}\),
si \(G\) est un sous-espace vectoriel de \(E^*\), l'orthogonal de \(G\) est le sous-espace vectoriel de \(E\) défini par : \(G^0=\{x\in E/\forall l\in G,l(x)=0\}\).
Pour tout sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\), on a les résultats importants suivants quand \(E\) est de type fini :
\(\dim F^0=\dim E -\dim F\)
\((F^0)^0=F\)
Ce résultat ne se transpose pas dans l'étude de l'orthogonal relativement à une forme bilinéaire symétrique, comme le montre l'exemple suivant :
Soit \(f\) la forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbf R^3\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(\mathbf R^3\) par \(f(x,y)=x_1y_1-x_3y_3\).
Alors \((\mathbf Re_2)^\perp=\mathbf R^3\), donc \(\dim(\mathbf Re_2)^\perp\neq\dim E-\dim(\mathbf Re_2)\).
Mais l'orthogonalité au sens de la dualité va permettre d'obtenir une relation entre les dimensions de \(F\) et de son orthogonal pour la forme bilinéaire symétrique.