Position du problème
Lorsque \(f\) est une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel \(E\) et \(u\) un vecteur de \(E\), on a défini l'orthogonal de \(u\) par :
\(\{u\}^\perp=\{v\in E, f(u,v)=0\}\).
Il est possible, même lorsque \(f\) est non dégénérée, que \(u\) soit orthogonal à lui-même.
Exemple :
Dans \(\mathbf R^2\) considérons les formes bilinéaires symétriques \(f_1\) et \(f_2\) définies pour tout \(x=(x_1,x_2)\) et tout \(y=(y_1,y_2)\)de par \(f_1(x,y)=x_1y_1+x_2y_2\) et \(f_2(x,y)=x_1y_1-x_2y_2\)
On a \(f_1(x,x)={x_1}^2+{x_2}^2\) d'où \(f_1(x,x)=0\) si et seulement si \(x_1=x_2=0\). Donc, pour \(f_1\), le seul vecteur orthogonal à lui-même est le vecteur nul.
\(\{0\}\) est la représentation graphique
des vecteurs orthogonaux à eux-mêmes pour \(f_1\)
On a \(f_2(x,x)={x_1}^2-{x_2}^2\) d'où \(f_2(x,x)=0\) si et seulement si \(x_1=x_2\) ou \(x_1=-x_2\). Donc, pour \(f_2\), les vecteurs orthogonaux à eux-mêmes sont les vecteurs de la forme \((x_1,x_1)\) ou \((x_1,-x_1)\).
\(\mathcal D_1 :x_1-x_2=0\qquad\qquad\qquad\mathcal D_2 :x_1+x_2=0\)
\(\mathcal D_1 \cup\mathcal D_2\) est la représentation graphique
des vecteurs orthogonaux à eux-mêmes pour \(f_2\)
Exemple :
Dans \(\mathbf R^3\) considérons la forme bilinéaire symétrique \(f_3\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(\mathbf R^3\) par :
\(f_3(x,y)=x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3\)
On a \(f_3(x,x)={x_1}^2+{x_2}^2-{x_3}^2\), d'où l'ensemble des vecteurs orthogonaux à eux-mêmes pour \(f_3\) est la surface de \(\mathbf R^3\) d'équation \({x_1}^2+{x_2}^2-{x_3}^2=0\). Cette surface est un cône de révolution de sommet 0. Pour \(c\in \mathbf R\), le plan d'équation \(x_3=c\) coupe ce cône suivant le cercle d'équation \({x_1}^2+{x_2}^2=c^2\)
\(\mathcal C :{x_1}^2+{x_2}^2-{x_3}^2=0\)
\(\mathcal C\) est la représentation graphique de l'ensemble
des vecteurs orthogonaux à eux-mêmes pour \(f_3\)
Ces situations nous conduisent à la notion de vecteur isotrope et de cône isotrope.