Définition
Lorsque \(E\) est un espace vectoriel et \(F\), \(G\) deux sous-espaces supplémentaires, pour tout vecteur \(u\in E\) il existe des vecteurs \(u_F\in F\) et \(u_G\in G\) uniques tels que \(u=u_F+u_G\). L'application :
\(\begin{array}{lllllll}p&:& E&=&F\oplus G &\rightarrow& E\\&&u&=&u_F+u_G&\mapsto& u_F \end{array}\)
est un endomorphisme de \(E\) que l'on appelle projection sur \(F\) parallèlement à \(G\). Lorsque \(E\) est muni d'une forme bilinéaire symétrique \(f\) et que \(F\) et son orthogonal \(F^\perp\) sont supplémentaires, on peut prendre \(G=F^\perp\) et définir ainsi la projection orthogonale sur \(F\) (relativement à \(f\)).
Définition : Projection orthogonale
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\), \(F\) un sous-espace vectoriel de type fini non isotrope et \(F^\perp\) son orthogonal pour \(f\). On a alors \(E=F\oplus F^\perp\) et on appelle projection orthogonale sur \(F\)(relativement à \(f\)) la projection sur \(F\) parallèlement à \(F^\perp\).