Orthogonalité

Soit \(f\) la forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbf R^3\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3),y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(\mathbf R^3\) par \(f(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\), et \(F\) le sous-espace de \(\mathbf R^3\) d'équation \(x_1+x_2+x_3=0\).

Comme \(F=Vect\{(1,-1,0),(1,0,-1)\}\), l'orthogonal de \(F\) pour \(f\) est \(F^\perp=\mathbf R.a\) où \(a=(1,1,1)\). On a \(F\cap F^\perp=\{0_{\mathbf R^3}\}\) et les sous-espaces \(F\) et \(F^\perp\) sont supplémentaires : \(\mathbf R^3=F\oplus F^\perp\).

Pour \(u\in \mathbf R^3\) on note \(s=\frac{f(u,a)}{3}a\). Par construction \(s\in F^\perp\), et on va montrer que \((u-s)\in F\). En effet :

\(\begin{array}{rcl}f(u-s,a)&=&f(u,a)-f(s,a)=f(u,a)-f\left(\frac{f(u,a)}{3}a,a\right)=f(u,a)-\frac{f(u,a)}{3}f(a,a)\\&=&0\end{array}\)

Donc \(u-s\) est un vecteur orthogonal au vecteur \(a\). Comme \(F=\{x=(x_1,x_2,x_3)\in \mathbf R^3/x_1+x_2+x_3=0\}\) on a \(F=\{x\in \mathbf R^3/f(x,a)=0\}\) et \(F\) est l'ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur \(a\), donc \((u-s)\in F\) et \(u-s\) est le projeté orthogonal de \(u\) sur \(F\) (relativement à \(f\)). Si on note \(p\) la projection orthogonale sur \(F\) on a :

\(\begin{array}{lllll}p&:&\mathbf R^3&\rightarrow& \mathbf R^3\\&&u&\mapsto&\displaystyle{u-\frac{f(u,a)}{3}a}\end{array}\)

Soit \(E=C(-[-\pi,\pi],\mathbf R)\) le \(\mathbf R\textrm{-espace}\) vectoriel des fonctions continues sur \([-\pi,\pi]\) à valeurs dans \(\mathbf R\), et \(f\) la forme bilinéaire symétrique sur \(E\) définie par :

\(\forall u\in E, \forall v\in E, f(u,v)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}u(x)v(x)dx\).

On note \(\epsilon_0,~\epsilon_1,~\epsilon_2\) les éléments de \(E\) définis pour \(x\in [-\pi, \pi]\) par:

\(\epsilon_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2}},~~\epsilon_1(x)=\sin(x),~~\epsilon_2(x)=\cos(x)\)

et \(F=Vect\{\epsilon_0,\epsilon_1,\epsilon_2\}\).Comme la forme bilinéaire symétrique \(f\) admet comme seul vecteur isotrope l'application nulle, \(F\) est un sous-espace non isotrope pour \(f\). Comme de plus il est de type fini on a \(E=F\oplus F^\perp\) et on peut définir la projection orthogonale sur \(F\) (relativement à \(f\)).

Pour \(u\in E\) on note \(s=f(u,\epsilon_0)\epsilon_0+f(u,\epsilon_1)\epsilon_1+f(u,\epsilon_2)\epsilon_2\). Par construction \(s\) est un élément de \(F\) et on va montrer que \((u-s)\in F^\perp\). Des calculs simples d'intégrales montrent que :

\(f(\epsilon_0,\epsilon_0)=f(\epsilon_1,\epsilon_1)=f(\epsilon_2,\epsilon_2)=1\)

\(f(\epsilon_0,\epsilon_1)=f(\epsilon_0,\epsilon_2)=f(\epsilon_1,\epsilon_2)=0\)

et permettent de vérifier que pour tout \(i\),\(0\le i\le 2\),

\(\begin{array}{rcl}f(u-s,\epsilon_i)&=&f(u-f(u,\epsilon_0)\epsilon_0-f(u,\epsilon_1)\epsilon_1-f(u,\epsilon_2)\epsilon_2,\epsilon_i)\\&=&f(u,\epsilon_i)-f(u,\epsilon_i)f(\epsilon_i,\epsilon_i)=0\end{array}\)

Comme \(F=Vect\{\epsilon_0,\epsilon_1,\epsilon_2\}\), ces égalités prouvent que \((u-s)\in F^\perp\) et que \(s\) est le projeté orthogonal de \(u\) sur \(F\) (relativement à \(f\) ). Si on note \(p\) la projection orthogonale sur \(F\) on a :

\(\begin{array}{ccccl}p&:&E&\rightarrow&E\\&&u&\rightarrow&f(u,\epsilon_0)\epsilon_0+f(u,\epsilon_1)\epsilon_1+f(u,\epsilon_2)\epsilon_2\end{array}\).