Courbes et surfaces

Imaginons une parabole dans le plan des \(Oxz\) d'équation \(z = x^2\) et faisons la tourner autour de l'axe \(Oz\). Dans chaque plan \(Omz\), si nous désignons par \(r\) la mesure de \(Om\), nous avons une parabole \(z = r ^2 ~~et~~ r ^2 = x^ 2 + y^2\). L'équation du paraboloïde de révolution est donc

\(z = x ^2 + y ^2\)

On conçoit qu'on peut ainsi écrire une équation implicite pour une surface de révolution autour de \(Oz\). Ainsi, un cône de révolution engendré par la droite d'équation \(z = a ~x\) du plan \(Oxz\), tournant autour de \(Oz\), a pour équation implicite

\(z ^2 = a^ 2~(x ^2 + y ^2)\)

En exprimant qu'un point\(M\)du paraboloïde de révolution se projette suivant \(m\) appartenant au cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) sur le plan \(Oxy\) et en utilisant comme paramètres l'angle \(\theta= ( Ox, Om )\) dans le plan \(Oxy\) et la coordonnée\( z\), on écrit :

\(x = r ~cos ~\theta, ~~~~y = r ~sin ~\theta, ~~~~z = r^ 2.\)

De même, on peut chercher une représentation paramétrique du cône. Dans le plan \(Oxz\), on a \(z = a ~x\), donc dans le plan \(Omz\), on a\( z = a ~r\). Donc une représentation est donnée par

\(x = r ~cos~ \theta, ~~~~y = r ~sin~ \theta,~~~~ z = a~ r.\)