Paraboloïde de révolution d'équation z=x²+y²

Partie

Question

Quelles sont ses intersections avec

  • le plan \(z = 0 ?\)

  • un plan \(z = a, a\) étant une constante positive ?

  • un plan z = a, a étant une constante négative ?

  • le plan vertical \(x = 0 ?\)

  • le plan vertical \(y = 0 ?\)

  • un plan vertical quelconque passant par \(Oz ?\)

  • est-ce une surface de révolution ? autour de quel axe ?

  • pourquoi est-il appelé paraboloïde ?

En donner une représentation paramétrique. Le visualiser.

Paraboloïde de révolution 3D
Solution détaillée

Ses intersections avec

  • le plan \(z = 0\) : le point \(O\)

  • un plan \(z = a\), a étant une constante positive : un cercle centré sur \(Oz\).

  • quelles sont ses intersections avec un plan \(z = a\), \(a\) étant une constante négative : l'ensemble vide.

  • le plan vertical \(x = 0\) : la parabole d'équation \(z = y^2\).

  • le plan vertical \(y = 0\) : la parabole d'équation \(z = x^2\).

  • un plan vertical quelconque passant par \(Oz\) : une parabole d'´equation \(z = r^2\) dans le plan vertical d'angle polaire.

  • surface de révolution ? autour de quel axe ? Il est obtenu en faisant tourner la parabole \(z = x^2\) du plan \(Oxz\) autour de \(Oz\).

  • pourquoi est-il appelé paraboloïde ? à cause de son mode de génération par des paraboles.

Représentation paramétrique : le plus facile est de paramétrer le cercle \(x^2 + y^2 = r^2\) du plan \(z = r.\) On obtient : \(x = r~cos(\theta)~, y = r~sin(\theta)~, z = r^2.\)