Paraboloïde hyperbolique z=x²-y²

Partie

Question

Quelles sont ses intersections avec

  • le plan \(z=0 ?\)

  • un plan \(z = a\), \(a\) étant une constante ?

  • le plan vertical \(x = 0 ?\)

  • le plan vertical \(y = 0 ?\)

  • le plan vertical \(y = x ?\)

  • le plan vertical \(y = - x ?\)

  • un plan vertical quelconque passant par \(Oz\) ?

  • pourquoi est-il appelé paraboloïde ? hyperbolique ?

En donner une représentation paramétrique. Le visualiser.

Paraboloïde hyperbolique
Solution détaillée

Ses intersections avec

  • le plan \(z=0\) : les deux bissectrices des axes \(Ox~et~Oy.\)

  • un plan \(z = a~, a\) étant une constante : une hyperbole

  • le plan vertical \(x=0\) : une parabole \(z = - y^2.\)

  • le plan vertical \(y = 0\) : une parabole \(z = x^2.\)

  • le plan vertical \(y = x\) : la première bissectrice des axes \(Ox\) et \(Oy.\)

  • le plan vertical \(y = - x\) : la deuxième bissectrice des axes \(Ox\) et \(Oy.\)

  • un plan vertical quelconque passant par \(Oz\) : une parabole

  • pourquoi est-il appelé paraboloïde ? hyperbolique ? à cause de son mode de génération à l'aide de paraboles et d'hyperboles.

En donner une représentation paramétrique. Partir d'une représentation paramétrique des hyperboles : \(x = r\,ch (t)~,~y = r\,sh (t)~,~z = r^2.\)