Les systèmes linéaires
Écriture d'un système
Système linéaire \(S\) à \(m\) équations et \(n\) inconnues :
\(\left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_{1} +\ldots+a_{1n}x_{n} &=& b_{1} \\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2n}x_{n} &=& b_{2} \\ \vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+\ldots+a_{mn}x_{n} &=& b_{m} \end{array}\right.\)
où tous les coefficients \(a_{ij}\) sont dans \(\mathbb{R}\) ainsi que les \(b_{1}, \ldots, b_{m}\) appelés seconds membres de ce système. Les \(x_{1}, \ldots , x_{n}\) sont les inconnues.
Remarque :
Il est important de se familiariser avec l'usage des doubles indices, difficiles à appréhender au début mais si pratiques dès qu'on les a compris. Le but est simple. Pour écrire les coordonnées d'un vecteur \(\vec{V}\), il est plus clair d'écrire ses coordonnées sous la forme \((v_{1}, v_{2}, v_{3})\) que sous la forme \((a, b, c)\) puisque la première écriture nous renseigne immédiatement, de façon visuelle sur le vecteur et le numéro de la composante. Ici, pour renseigner les cœfficients nous donnons le numéro de ligne (ou d'équation) puis son ordre, c'est-à-dire l'inconnue dont il est le cœfficient.
Système homogène associé
Le système homogène associé \(S_{H}\)
\(S_{H} \left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x_{1} +\ldots+a_{1n}x_{n} &=& 0 \\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2n}x_{n} &=& 0\\ \vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+\ldots+a_{mn}x_{n} &=& 0 \end{array}\right.\)
a le même premier membre que le système \(S\), mais tous les cœfficients du second membre sont nuls.
Solution d'un système
Une solution de \(S\), (respectivement \(S_{H }\)) est un point, (respectivement vecteur) de \(\mathbf{R^n}\) dont les coordonnées vérifient le système \(S\), (respectivement \(S_{H}\) ).
Solution générale d'un système
La solution générale de \(S\), (respectivement \(S_{H}\) ) est une expression, dépendant de constantes arbitraires (les paramètres) permettant d'obtenir toutes les solutions de ce système.