Systèmes linéaires

Une solution de \(S_H\) est un vecteur de \(\mathbf{R^n}\) dont les coordonnées vérifient le système \(S_H\).

Les solutions de système homogène \(S_{H}\) forment un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{R^n}\).

En effet, le système \(S_{H}\) possède toujours au moins une solution, la solution nulle \((0, ..., 0)\) ; et toute combinaison linéaire des solutions du système homogène est une solution de ce système.

Lorsqu'on choisit une base de l'espace des solutions composée de \(q\) solutions \((q = dim S_{H})\) du système \(S_{H}\) , une solution quelconque s'exprime sur cette base à l'aide de \(q\) constantes qui sont les coordonnées de cette solution sur la base.

La solution générale d'un système homogène est l'expression d'une solution de ce système à l'aide d'une base de solutions. Elle s'exprime à l'aide de paramètres, en nombre égal à la dimension de cet espace.

Supposons donc le système \(S_{H}\) équivalent au système :

\(S_{H}\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + & a_{13}x_{3} & + & \cdots & + & a_{1n}x_{n} & =0 \\ && a_{22}x_{2} &+ & a_{23}x_{3} &+ & \cdots & + & a_{2n}x_{n} &=0 \\ && &\ddots& &\vdots& && \vdots \\ &&&& a_{rr}x_{r} & + & \cdots & + & a_{rn}x_{n} &=0 \end{matrix}\right.\)

avec les pivots successifs non nuls : \(a_{11} \ne 0~, a_{22} \ne 0~, \ldots , a_{rr} \ne 0\).

On appelle \(x_{1}, \ldots, x_{r}\) les inconnues principales et \(x_{r+1}, \ldots, x_{n}\) les inconnues non principales.

La résolution conduit à exprimer \(x_{1}, \ldots, x_{r}\) comme des combinaisons linéaires de \(x_{r+1}, \ldots, x_{n}\).

\(\left\{ \begin{array}{ccc} x_{1}&=&\beta_{1,r+1}x_{r+1}+\cdots+\beta_{1,n}x_{n} \\ x_{2}&=&\beta_{2,r+1}x_{r+1}+\cdots+\beta_{2,n}x_{n} \\ &\vdots \\x_{r}&=&\beta_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots+\beta_{r,n}x_{n} \end{array}\right.\)

Les solutions \((x_{1}, ..., x_{n})\) de \(S_{H}\) s'écrivent sous la forme :

\(X = x_{r+1}A_{r+1} + x_{r+2}A_{r+2} + \cdots + x_{n}A_{n}\)

\(\left ( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r+1}\\ x_{r+2}\\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right )= x_{r+1} \left ( \begin{array}{c} \beta_{1,r+1} \\ \beta_{2,r+1} \\ \vdots \\\beta_{r,r+1} \\ 1\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array} \right )+ \cdots + x_{n}\left ( \begin{array}{c} \beta_{1,n} \\ \beta_{2,n} \\ \vdots \\\beta_{r,n} \\ 0\\ 0\\ \vdots \\ 1\end{array} \right )\)

• \(A_{r+1}, \ldots, A_{n}\) sont des solutions du système \(S_{H}\) .

• toute solution de \(S_{H}\) s'exprime comme combinaison linéaire de \(A_{r+1}, \ldots , A_{n}\)Cette famille de solutions est donc une famille génératrice du sous-espace de \(\mathbf{R^n}\) engendré par les solutions de \(S_{H}\) .

• la famille \(A_{r+1}, \ldots , A_{n}\) est une famille indépendante ; ceci est évident si on examine les \(n - r\) dernières coordonnées.

• la famille \(A_{r+1}, \ldots , A_{n}\) forme donc une base de l'espace des solutions. Cet espace est de dimension \(n - r\).

• Conclusion : le nombre r est donc indépendant du choix des pivots successifs. Si \(r = n\) le système a pour seule solution la solution \((0, 0, ..., 0)\).