Systèmes linéaires

Le choix des mêmes pivots que pour le système \(S_H\) conduit au système :

\(S_{H}\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_{1} & + & a_{12}x_{2} & + & a_{13}x_{3} & + & \cdots & + & a_{1n}x_{n} & =b_1 \\ && a_{22}x_{2} &+ & a_{23}x_{3} &+ & \cdots & + & a_{2n}x_{n} &=b_2 \\ && &\ddots& &\vdots&& \vdots \\ &&&& a_{rr}x_{r} & + & \cdots & + & a_{rn}x_{n} &=b_r \\&&&&&&&& 0 & \hspace*{0.3cm}=b_{r+1} \\ &&&&&&&& \vdots&\vdots \\ &&&&&&&& 0 & \hspace*{0.1cm} =b_{m} \end{matrix}\right.\)

Cas \(r < m ~~et~~ r < n,\)

Cas \(r = m ~~et~~ r < n,\)

Cas \(r < m ~~et ~~r = n,\)

Cas \(r =m ~~et~~r = n.\)

\(m - r\) conditions de possibilité : les \(m - r\) dernières équations.

• si toutes ces conditions sont vérifiées, on calcule les solutions à l'aide des \(r\) premières équations.

• si l'une au moins des conditions n'est pas vérifiée, le système est impossible.

Pas de condition de possibilité. La résolution conduit à :

\(\begin{array}{ccc} x_1 &=& d_{1} + \beta_{1,r+1}x_{r+1} + \cdots + \beta_{1,n}x_{n} \\ x_2 &=& d_{2} + \beta_{2,r+1}x_{r+1} + \cdots + \beta_{2,n}x_{n} \\ &\vdots \\ x_r&=&d_r+\beta_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots+\beta_{r,n}x_{n} \end{array}.\)

\(\left ( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r+1}\\ x_{r+2}\\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right )= \left ( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\d_r \\ 0\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array} \right ) + x_{r+1} \left ( \begin{array}{c} \beta_{1,r+1} \\ \beta_{2,r+1} \\ \vdots \\\beta_{r,r+1} \\ 1\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array} \right )+ \cdots + x_{n}\left ( \begin{array}{c} \beta_{1,n} \\ \beta_{2,n} \\ \vdots \\\beta_{r,n} \\ 0\\ 0\\ \vdots \\ 1\end{array} \right )\)

Les \(d_i\) sont des combinaisons linéaires de \(b_1, \ldots , b_r.\)

\(D=\left ( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\d_r \\ 0\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array} \right )\) est une solution particulière du système \(S\).

La solution générale du système \(S\) s'obtient en ajoutant à la solution particulière \(D\) du système \(S\) la solution générale du système \(S_H\) .

\(m - r\) conditions de possibilité

• Si l'une au moins des conditions n'est pas vérifiée, le système est impossible.

• Si toutes ces conditions sont vérifiées, on calcule les solutions à l'aide des \(r\) premières équations. \(S_H\) admet une unique solution \((0, \ldots, 0)\) et \(S\) admet aussi une unique solution.

Cas de Cramer : Pas de conditions de possibilité. Le système \(S\) admet une solution unique.