Théorème de la moyenne, sommes de Riemann

Théorème

Si \(f\) est intégrable sur \([a , b]\) et si l'on pose \(m=\displaystyle{\inf_{x\in [a,b]}f(x)}\) et \(M=\displaystyle{\sup_{x\in [a,b]}f(x)}\)

alors \(\displaystyle{m(b-a)\leq\int_a^bf(t)dt\leq M(b-a)}\).

Si \(f\) est continue sur \([a , b]\) , alors il existe \(c \in ]a , b[\) tel que

\(\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_a^bf(t)dt=f(c)}\).

(formule dite première formule de la moyenne).

Preuve

Il suffit de considérer la subdivision \(\displaystyle{\sigma_1=\{a,b\}}\), on a :

\(\displaystyle{s(f,\sigma_1)=m(b-a)\leq\int_a^bf(t)dt\leq M(b-a)=S(f,\sigma_1)}\)

Si \(f\) est continue, on conclut avec le théorème des valeurs intermédiaires.

Ce théorème montre que l'intégrale vérifie la condition \(2\) exposée dans le préliminaire (partie definition).

Pourquoi formule de la moyenne ?

Pour tout entier \(n > 0\), soit \(S_n\) la subdivision régulière d'ordre \(n\); on considère un ensemble de points

\(\displaystyle{(\theta_i)_{1\leq i\leq n}\textrm{ avec }\forall i=1,2..n\quad\theta_i\in[x_{i-1},x_i]}\). Alors l'expression \(\displaystyle{\frac{1}{n}\displaystyle{\sum_{i-1}^n}f(\theta_i)}\) représent la valeur moyenne de la fonction \(f\) aux points \(\theta_1,\theta_2...\theta_n\).

On a alors le corollaire :

CorollaireCorollaire 1 :

Si la fonction \(f\) est intégrable sur \([a , b]\), alors

\(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}}\frac{1}{n}\displaystyle{\sum_{i-1}^n}f(\theta_i)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(t)dt\)

Si \(f\) est continue sur \([a , b]\), alors il existe \(c \in ]a , b[\) tel que

\(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}}\frac{1}{n}\displaystyle{\sum_{i-1}^{n}}f(\theta_i)=f(c)\)

Ceci justifie pour \(f(c)\) la dénomination de valeur moyenne de la fonction \(f\) sur \([a , b]\).

Preuve

Les inégalités : \(\forall i=1,2....n\quad m_i\leq f(\theta_i)\leq M_i\) entraînent

\(\frac{(b-a)}{n}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}m_i\leq\frac{(b-a)}{n}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}f(\theta_i)\leq\frac{(b-a)}{n}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}M_i\)

Le premier membre et le troisième membre de cette double inégalité représentent respectivement .

\(s(f,\sigma_n)\) et \(S(f,\sigma_n)\).

D'où, \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}}\frac{(b-a)}{n}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}m_i=\int_a^bf(t)dt=\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}}\frac{(b-a)}{n}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}M_i\) et donc

\(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}}\frac{(b-a)}{n}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}f(\theta_i)=\int_a^bf(t)dt\)

Dans le cas où f est continue sur \([a,b]\), on en déduit :

\(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}}\frac{1}{n}\displaystyle{\sum_{i-1}^n}f(\theta_i)=f(c)\)

On remarque que le choix des points \((\theta_i)_{1\leq i\leq n}\) dans chaque intervalle de la subdivision n'intervient pas

Remarque : pour la fonction représentée dans la vidéo, les inégalités sont strictes

Remarque

les expressions de la forme \(\displaystyle{\sum_{i=1}^n\frac{(b-a)}{n}f(\theta_i)}\) sont des sommes de Riemann de \(f\) relativement à la subdivision \(S_n\).

Plus généralement, pour une fonction \(f\) définie sur un intervalle \([a , b]\), on peut définir la somme de Riemann de \(f\) relative à :

  • une subdivision \(\sigma\) quelconque de \(\sigma=\{x_0=a,x_1........x_n=b\}\) et

  • un choix de points \((\theta_i)_{1\leq i\leq n},theta_i\in[x_{i-1},x_i]\).

Définition

On appelle somme de Riemann de \(f\) relative à \(\sigma\) et à l'ensemble de points \((\theta_i)_{1\leq i\leq n}\) le réel \(\displaystyle{\sum_{i=1}^nf(\theta_i)(x_i-x_{i-1})}\).

On a alors un second corollaire qui se démontre comme le premier.

CorollaireCorollaire 2 :

Si \(f\) est intégrable sur \([a , b]\) les sommes de Riemann de \(f\) ont toutes pour limite \(\int_a^bf(t)dt\) quand le pas de la subdivision tend vers \(0\).

Ceci signifie que :

pour tout \(\epsilon>0\) , il existe \(\eta>0\) tel que, pour toute subdivision\(\sigma=\{x_0=a,x_1.......x_n=b\}\) de pas \(h < \eta\) et pour toute famille\((\theta_i)_{1\leq i\leq n},\theta_i\in[x_{i-1},x_i]\)

on ait :

\(|\int_a^bf(t)dt-\sum_{i-1}^nf(\theta_i)(x_i-x_{i-1})|<\epsilon\)

Les applications de la "formule de la moyenne" sont nombreuses en particulier pour calculer la limite de suites de la forme :

\(\displaystyle{\sum_{i=1}^n\frac{(b-a)}n f(\theta_i)}\)

Exemple

Etude de la suite \(\displaystyle{(u_n)\textrm{ définie par }u_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{n+n}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k}}\)

Dans ce type d'exercices, il s'agit de faire apparaître le terme \(1/ n\), puis de trouver à la fois la fonction et l'intervalle.

Ici on écrit \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}}\). En considérant la fonction \(f:x\to\frac{1}{1+x}\) et l'intervalle \([0 , 1]\),on voit qu'on peut écrire \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\frac{k}{n})\textrm{ d'où }\lim_{x\to+\infty}u_n=\int_0^1\frac{dt}{1+t}}\). Nous verrons, après le théorème fondamental liant intégrale et primitive que cette intégrale vaut \(\ln 2\) .