Intégrale de Riemann

1. La condition$\displaystyle{\forall(x)\in[a,b]f(x)\geq0\textrm{ entraîne }m\geq0}$ , d'où, d'après le théorème de la moyenne,

   $\displaystyle{0\leq\int_a^bf(t)dt}$.

2. On écrit la condition$\displaystyle{f\leq g:\quad g-f\geq0}$ , on applique alors ( 1. ) puis la linéarité de l'intégrale.

3. On a$-|f|\leq f\leq|f|$, on applique ( 2. ), on en déduit :

   $\displaystyle{-\int_a^b|f(t)|dt\leq\int_a^bf(t)dt\leq\int_a^b|f(t)|dt}$.

On a d'après le théorème précédent (positivité) :

$\displaystyle{\forall\lambda\in\mathbf R,\int_a^b(\lambda f+g)^2(t)dt=\lambda^2\int_a^bf^2(t)dt+2\lambda\int_a^bf(t)g(t)dt+\int_a^bg^2(t)dt\geq0}$

Il s'agit d'un trinôme du second degré en $\lambda$ qui est toujours positif quel que soit $\lambda$ , son discriminant est donc négatif ou nul. D'où l'inégalité.

Soit $f$ une fonction continue sur $[a , b]$ positive ou nulle ; alors si $\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=0}$ , on a $f = 0$.

c'est une démonstration par l'absurde qui repose sur la propriété, déjà souvent utilisée, qu'une fonction continue en un point $x_0$ et non nulle en $x_0$ ne s'annule pas au voisinage de $x_0$ et donc garde un signe constant au voisinage de $x_0$ (c'est à dire qu'il existe un voisinage de $x_0$ sur lequel elle garde un signe constant).

On suppose donc qu'il existe un point $x_0\in]a,b[$ tel que $f(x_0) = d > 0$.

Dans la définition de la continuité en $x_0$, on pose $\displaystyle{\epsilon = \frac{d}{2}}$ , alors :

$\displaystyle{\exists\eta>0,(|x-x_0|<\eta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\frac{d}{2}\textrm{ donc }|x-x_0|<\eta\Rightarrow f(x)\geq\frac{d}{2}<0}$.

(on choisit $\eta$ assez petit pour que $a < x < b$ ).

Comme $f$ est positive ou nulle sur $[a , b]$, par la relation de Chasles, on obtient $\displaystyle{\int_a^bf(t)t=0\geq\int_{x_0-\eta}^{x_0+\eta}f(t)dt\geq d \;\eta>0}$.

D'où la contradiction.

Remarque : Le résultat est faux si la fonction n'est pas continue : ainsi la fonction définie par$\displaystyle{f:[0,1]\to\mathbb R,\forall x\in[0,1] f(x)=0\textrm{ et }f(1)=1}$

est telle que$\int_0^1f(t)dt=0$ et n'est pas nulle.