Inégalités
Théorème : Positivité
Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions intégrables sur \([a , b] (a < b)\), on a les implications :
\(\displaystyle{f\geq0\Rightarrow\int_a^bf(t)dt\geq0}\),
\(\displaystyle{f\leq g\Rightarrow\int_a^bf(t)dt\leq\int_a^bg(t)dt}\),
\(\displaystyle{|\int_a^bf(t)dt|\leq\int_a^b|f(t)|dt}\).
Preuve :
La condition\(\displaystyle{\forall(x)\in[a,b]f(x)\geq0\textrm{ entraîne }m\geq0}\) , d'où, d'après le théorème de la moyenne,
\(\displaystyle{0\leq\int_a^bf(t)dt}\).
On écrit la condition\(\displaystyle{f\leq g:\quad g-f\geq0}\) , on applique alors ( 1. ) puis la linéarité de l'intégrale.
On a\(-|f|\leq f\leq|f|\), on applique ( 2. ), on en déduit :
\(\displaystyle{-\int_a^b|f(t)|dt\leq\int_a^bf(t)dt\leq\int_a^b|f(t)|dt}\).
Théorème : Inégalité de Schwarz
Si \(f\) et \(g\)sont des fonctions continues sur \([a , b]\) on a ;
\(\displaystyle{|\int_a^bf(t)g(t)dt|\leq\sqrt{\int_a^bf^2(t)dt\int_a^bg^2(t)dt}}\)
Preuve :
On a d'après le théorème précédent (positivité) :
\(\displaystyle{\forall\lambda\in\mathbf R,\int_a^b(\lambda f+g)^2(t)dt=\lambda^2\int_a^bf^2(t)dt+2\lambda\int_a^bf(t)g(t)dt+\int_a^bg^2(t)dt\geq0}\)
Il s'agit d'un trinôme du second degré en \(\lambda\) qui est toujours positif quel que soit \(\lambda\) , son discriminant est donc négatif ou nul. D'où l'inégalité.
Le théorème suivant, dont la démonstration est plus difficile que celles des théorèmes précédents, précise la positivité, il est d'une grande utilité dans l'étude des espaces de fonctions.
Théorème :
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a , b]\) positive ou nulle ; alors si \(\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=0}\) , on a \(f = 0\).
Preuve :
c'est une démonstration par l'absurde qui repose sur la propriété, déjà souvent utilisée, qu'une fonction continue en un point \(x_0\) et non nulle en \(x_0\) ne s'annule pas au voisinage de \(x_0\) et donc garde un signe constant au voisinage de \(x_0\) (c'est à dire qu'il existe un voisinage de \(x_0\) sur lequel elle garde un signe constant).
On suppose donc qu'il existe un point \(x_0\in]a,b[\) tel que \(f(x_0) = d > 0\).
Dans la définition de la continuité en \(x_0\), on pose \(\displaystyle{\epsilon = \frac{d}{2}}\) , alors :
\(\displaystyle{\exists\eta>0,(|x-x_0|<\eta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\frac{d}{2}\textrm{ donc }|x-x_0|<\eta\Rightarrow f(x)\geq\frac{d}{2}<0}\).
(on choisit \(\eta\) assez petit pour que \(a < x < b\) ).
Comme \(f\) est positive ou nulle sur \([a , b]\), par la relation de Chasles, on obtient \(\displaystyle{\int_a^bf(t)t=0\geq\int_{x_0-\eta}^{x_0+\eta}f(t)dt\geq d \;\eta>0}\).
D'où la contradiction.
Remarque : Le résultat est faux si la fonction n'est pas continue : ainsi la fonction définie par\(\displaystyle{f:[0,1]\to\mathbb R,\forall x\in[0,1] f(x)=0\textrm{ et }f(1)=1}\)
est telle que\(\int_0^1f(t)dt=0\) et n'est pas nulle.