Exercice n°1
Partie
Déterminer, en indiquant soigneusement dans chacun des cas l'ensemble de définition, toutes les primitives des fonctions :
Question
\(\displaystyle{x\mapsto(\ln x)^{\alpha}/x\quad(\alpha\in R )}\)
Aide méthodologique
changement de variable
Solution détaillée
La fonction \(\displaystyle{x\to(\ln x)^{\alpha}/x (\alpha\in\mathbf{R})}\) est continue sur \(]1,+\infty[\), elle admet donc sur cet intervalle une infinité de primitives. On pose \(u=\ln x\), on obtient l'intégrale \(\displaystyle{\int u^{\alpha} du}\)d'où
\(\displaystyle{\alpha\neq-1\int\frac{(\ln x)^{\alpha}}{x}dx=\frac{1}{\alpha+1}(\ln x)^{\alpha+1}+k}\)
\(\displaystyle{\alpha=-1\int\frac{dx}{x\ln x}=\ln\ln x+k}\)
où \(k\) désigne une constante réelle.
On a étudié le cas général où \(\alpha\) est un réel quelconque, dans les cas où \(\alpha\) est un entier ou un rationnel dont le dénominateur est impair, les primitives sont définies sur \(]0,+\infty[\) si \(\alpha>0,]0,1[\) et \(]1,+\infty[\) si \(\alpha<0\) et les expressions sont analogues.
Question
\(\displaystyle{x\mapsto (\sin x)\textrm{e}^x}\)
Aide méthodologique
intégration par parties
Solution détaillée
La fonction \(\displaystyle{x\to (\sin x)\textrm{e}^x}\) est de classe C1 sur \(\mathbf R\). On pose :
\(\displaystyle{f(x)=\textrm{e}^x\textrm{ et } g'(x)=\sin x\textrm{ d'où }f'(x)=\textrm{e}^x\textrm{ et }g(x)=-\cos x}\).
On a donc la formule :
\(\displaystyle{\int\textrm{e}^x\sin xdx=-\textrm{e}^x\cos x+\int\textrm{e}^x\cos xdx}\),
et une seconde intégration par parties donne alors
\(\displaystyle{\int\textrm{e}^x\cos xdx=\textrm{e}^x\sin x+\int\textrm{e}^x\sin xdx}\), d'où
\(\displaystyle{\int\textrm{e}^x\sin xdx=\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)\textrm{e}^x+k}\)