Calculer \(\displaystyle{\int_0^1\frac{tdt}{1+\sqrt{1+t}}}\)
Changement de variable
En posant \(\displaystyle{u=\sqrt{1+t}}\) on se ramène à l'intégration d'une fonction rationnelle.
On a \(\displaystyle{u=\sqrt{1+t}(0\leq t\leq1)\leftrightarrow1+t=u^2\textrm{ soit }t=u^2-1}\). D'où :
\(\displaystyle{\int_0^1\frac{tdt}{1+\sqrt{1+t}}=\int_1^{\sqrt{2}}\frac{2u(u^2-1)du}{u+1} =\int_1^{\sqrt{2}}2u(u-1)du =\left[\frac{2u^3}{3}-u^2\right]_1^{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}-5}{3}}\)