Exercice n°2
Partie
Calculer les intégrales suivantes:
Question
\(\displaystyle{\int_0^{1/2}\frac{t^3}{1-t}dt}\)
Solution détaillée
Première étape : décomposition de la fraction rationnelle
\(\displaystyle{\frac{X^3}{1-X}=-X^2-X-1+\frac{1}{1-X}}\)
Seconde étape : intégration
\(\displaystyle{\int_0^{1/2}\frac{t^3}{1-t}dt=[-\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-t-\ln(1-t)]_0^{1/2}=\ln2-\frac{2}{3}}\)
Question
\(\displaystyle{\int_0^1\frac{t}{t^2-t+1}dt}\)
Solution détaillée
La décomposition de la fraction rationnelle est réalisée.
Première étape : on met le trinôme sous forme canonique ,
\(\displaystyle{t^2-t+1=(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\)
d'où le changement de variable défini par ;
\(\displaystyle{t-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}s}\)
Seconde étape : intégration
le changement de variable conduit à l'intégrale
\(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}\displaystyle{\int_{-1/{\sqrt{3}}}^{1/{\sqrt{3}}}\frac{(1+\sqrt{3}s)}{s^2+1}ds=\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{-1/{\sqrt{3}}}^{1/{\sqrt{3}}}\frac{ds}{s^2+1}=\frac{1}{\sqrt{3}}[\arctan s]_{-1/{\sqrt{3}}}^{1/{\sqrt{3}}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}}}\)
Question
\(\displaystyle{\int_0^1\frac{3t^2+3t+2}{t^3+t^2+t+1}dt}\)
Solution détaillée
On envisage deux stratégies
Stratégie classique :
Première étape : décomposition de la fraction rationnelle
le polynôme\(\displaystyle{X^3+X^2+X+1}\)
admet \(–1\) comme racine évidente, d'où la factorisation :
\(\displaystyle{X^3+X^2+X+1=(X+1)(X^2+1)}\)
et la décomposition :
\(\displaystyle{\frac{3X^2+3X+2}{X^3+X^2+X+1}=\frac{1}{X+1}+\frac{2X+1}{X^2+1}}\)
Seconde étape : intégration :
\(\displaystyle{\int_0^1\frac{3t^2+3t+2}{t^3+t^2+t+1}dt=[\ln(t+1)]_0^1+[\ln(t^2+1)]_0^1+[\arctan]_0^1=2\ln2+\frac{\pi}{4}}\)
Stratégie “astuce” :
En faisant apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur, c'est-à-dire en écrivant :
\(\displaystyle{3t^2+3t+2=3t^2+2t+1+t+1}\) ,
l'intégration se présente alors, compte tenu de l'égalité :
\(\displaystyle{\forall t\neq-1, \frac{t+1}{t^3+t^2+t+1}=\frac{1}{t^2+1}}\)
sous la forme suivante :
\(\displaystyle{\int_0^1\frac{3t^2+2t+1}{t^3+t^2+t+1}dt+\int_0^1\frac{dt}{t^2+1}=[\ln(t^3+t^2+t+1)]_0^1+[\arctan t]_0^1=2\ln2+\frac{\pi}{4}}\)