Exercice n°8
Partie
Remarque préliminaire
Ces intégrales, qui n'ont pas été étudiées en cours afin de ne pas le surcharger par de trop nombreuses méthodes, font partie de ce qu'on appelle les intégrales “abéliennes“, c'est-à-dire des intégrales du type
\(\displaystyle{\int f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx}\)
. La méthode d'intégration repose sur la mise du trinôme sous forme canonique et l'emploi d'un changement de variable utilisant soit les fonctions circulaires, soit les fonctions hyperboliques.
Les deux premières sont des intégrales abéliennes de “base“ c'est-à-dire qui servent de modèle aux autres.
Calculer les intégrales indéfinies suivantes :
Question
\(\displaystyle{\int\sqrt{1-x^2}dx}\)
Solution détaillée
La fonction \(x\to\sqrt{1-x^2}\) est définie et continue sur l'intervalle \([-1,+1]\) , elle admet donc sur cet intervalle des primitives.
On pose \(x = \cos t\),(on remarque qu'il s'agit d'un changement de variable indirect : la fonction cosinus est bijective de \([0,\pi]\textrm{ sur }[-1,1]\)).
On a :
\(\displaystyle{\int\sqrt{1-x^2}dx=\int\sin^2udu=\frac{\sin2u}{4}-\frac{u}{2}+k\textrm{ soit }\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}dx-\frac{1}{2}\arccos x+k}\)
où \(k\) est une constante réelle.
Question
\(\displaystyle{\int\sqrt{1+x^2}dx}\)
Solution détaillée
La fonction \(x\to\sqrt{1+x^2}\) est continue sur \(\mathbf{R}\) , elle admet des primitives sur \(\mathbf{R}\).
On pose \(x = \textrm{sh}t\), on a :
\(\displaystyle{\int\sqrt{x^2+1}dx=\int\textrm{ch}^2tdt=\int\frac{\textrm{ch}2t+1}{2}dt=\frac{\textrm{sh}2t}{4}+\frac{t}{2}+k=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{2}\textrm{arg sh}x+k}\)
où k est une constante réelle.
Question
\(\displaystyle{\int\frac{x-1}{x+1}\sqrt{2x-x^2}dx}\)
Solution détaillée
La fonction \(\displaystyle{f:x\to\frac{x-1}{x+1}\sqrt{2x-x^2}}\) est définie et continue sur \([0,2]\).
Première étape on met le trinôme sous forme canonique
\(\displaystyle{2x-x^2=-(x-1)^2+1}\) .
Deuxième étape :on est amené à poser \(\displaystyle{x –1 =\cos u}\) avec \(\displaystyle{x\in[0,2]\textrm{ et }u\in[0,\pi]}\),l'élément différentiel \(f(x)dx \)devient :
\(\displaystyle{\frac{-\cos u\sin^2u}{2+\cos u}du=\frac{\cos^3u-\cos u}{2+\cos u}du}\)
On a une fraction rationnelle en cos u , en effectuant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur on obtient :
\(\displaystyle{\frac{\cos^3u-\cos u}{2+\cos u}=\cos^2u-2\cos u+3-\frac{6}{2+\cos u}}\)
On obtient
\(\displaystyle{f(x)dx=\frac{\sin2u}{4}-2\sin u+\frac{7u}{2}-6\int\frac{du}{2+\cos u}}\)
Pour la dernière intégrale on fait le changement de variable \(v = \tan(u/2)\), on obtient .
\(\displaystyle{\int\frac{2}{3+v^2}dt=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan(\frac{v}{\sqrt{3}})}\)
Finalement on a :
\(\displaystyle{\int\frac{x-1}{x+1}\sqrt{2x-x^2}dx=\frac{x-5}{2}\sqrt{2x-x^2}+\frac{7}{2}\arctan\sqrt{\frac{2-x}{x}}-4\sqrt{3}\arctan\sqrt{\frac{2-x}{3x}}+k}\)