Négation

Pour une négation[1], pas de règle générale, sauf qu'il est adroit de rentrer au maximum les négations à l'intérieur des formules. Par exemple, s'il s'agit de \("non~(P\Rightarrow Q)",\) transformer cette formule en \("P~ et~ (non~ Q)".\) Quand les négations sont arrivées au stade atomique, c'est-à-dire sous la forme \("a\neq b",\) ou \("x\notin E",\) il n'y a plus de gros problème de logique.

Exemplede démonstration

Énoncé : On considère deux nombres réels \(x\) et \(a.\) On suppose que l'on a

\((x\neq a)\Rightarrow (x = 1)\)

Montrer que

\(((x\neq a)\Rightarrow (x \neq 1))\Rightarrow (x = a)\)

Objets donnés : \(x\) et \(a.\)

Hypothèse : \((x\neq a)\Rightarrow (x = 1).\)

But : \([(x\neq a)\Rightarrow (x\neq 1)]\Rightarrow (x = a).\)

Démonstration

On va faire une démonstration de la contraposée de la propriété cherchée. On remplace le but\([(x\neq a)\Rightarrow (x\neq 1)]\Rightarrow (x = a)\)par l'implication contraposée, \((x \neq a)\Rightarrow[(x\neq a)~et~ (x= 1)] \) (revoir la négation d'une implication)

On prend donc maintenant l'hypothèse \(x\neq a.\) Supposons \(x\neq a\) et montrons que \((x\neq a)\Rightarrow (x\neq 1)\) est faux. Autrement dit montrons que \((x\neq a)~ et~ (x = 1).\) On sait déjà que \(x\neq a,\) il reste à démontrer que \(x = 1.\)

Or nous savons \(x\neq a,\) et par hypothèse \((x\neq a)\Rightarrow (x = 1),\) donc \(x = 1,\) ce qui termine la démonstration de \(x = 1.\)

On a donc montré la contraposée du but et donc le but est montré.