Démonstrations

Le but de cette section est de donner une aide pour les démonstrations où interviennent, de façon implicite ou explicite, des quantificateurs. Il n'y a pas (malheureusement ? heureusement ?) de recette pour démontrer une propriété mathématique, mais on essaiera ici de donner un guide permettant presque toujours d'y voir plus clair en comprenant mieux ce qu'il y a à faire, en se construisant un plan raisonnable de démonstration.

Les interventions de formules quantifiées, explicites ou implicites, dans une démonstration se font (si l'on excepte le départ d'une démonstration par l'absurde qui modifie les hypothèses et le but) en utilisant les quatre règles suivantes.

\("\forall x,~~ P(x)"\) signifie que pour tout \(x,\) \("P(x)"\) est vraie, donc :

règle 1

Pour démontrer une propriété universelle (du type \("\forall x,~~ P(x)"),\) on prend un \(x\) quelconque (c'est-à-dire que l'on ne suppose rien a priori sur cet \(x),\) et on démontre que \("P(x)"\) est vraie. On exprimera dans la démonstration que l'on prend cet x en écrivant quelque chose du genre "soit \(x",\) ou "prenons un \(x\) quelconque"...

règle 2

Pour utiliser une propriété (hypothèse) universelle (du type \("\forall x,~~ P(x)"),\) on cherche un \(x\) particulier intéressant (quelquefois plusieurs), et on peut alors utiliser la propriété \("P(x)".\)

\("\exists x,~~ P(x)"\) signifie qu'il existe un \(x\) tel que \("P(x)"\) est vraie, donc :

règle 3

Pour démontrer une propriété existentielle (du type \("\exists x,~~ P(x)"),\) on construit (synonymes : on trouve, on fabrique, ...) un \(x\) et on démontre pour cet \(x\) la propriété \("P(x)".\)

règle 4

Pour utilise r une propriété (hypothèse) existentielle (du type \("\exists x,~~ P(x)"),\) on prend un \(x\) ayant la propriété \(P(x).\) Cela peut se faire en écrivant quelque chose du genre "considérons \(x\) tel que \("P(x)",\) ou "prenons un \(x\) tel que \(P(x)",\) ou simplement "il existe \(x\) tel que \(P(x)"\) (noter dans cette dernière expression que "il existe" écrit en toutes lettres peut signifier dans ce contexte, non seulement que l'on affirme l'existence d'un \(x,\) ce que la formule \("\exists x,~~ P(x)"\) fait, mais en plus qu'on en prend un, fixé pour la suite de la démonstration, ce que la formule ne fait pas !). Une fois qu'on a pris cet \(x,\) on peut utiliser la propriété \("P (x)"\) (attention, c'est tout ce qu'on sait sur \(x).\)

Regardons d'abord l'hypothèse

\("f\) injective" ; elle se traduit par la formule universelle

\(\forall x\in E,~ \forall y\in E,~ (f(x) = f(y)\Rightarrow x = y)\)

On ne peut l'utiliser tout de suite car on ne dispose ni de \(x\) ni de \(y\) intéressants pour pouvoir l'utiliser. Prendre un \(x\) et un \(y\) quelconques ici ne servirait à rien.

Regardons maintenant le but

(ici comme souvent c'est par là qu'il est bon de commencer). Il peut s'écrire :

\(\forall y\in F,~ (y\in f(P)\cap f(Q)\Rightarrow y\in f(P\cap Q))\)

On va donc prendre un \(y\) quelconque dans \(F\) et essayer de démontrer l'implication

\(y\in f(P)\cap f(Q)\Rightarrow y\in f(P\cap Q)\)

Pour cela, on commence par supposer \(y\in f(P)\cap f(Q),\) et il reste à démontrer \(y\in f (P\cap Q).\) Or \(y\in f(P\cap Q)\) signifie \(\exists x\in P\cap Q, ~y = f(x)\) ; il nous faut donc trouver un \(x\) tel que... mais nous n'avons pas encore un tel \(x\) sous la main ; il faut donc continuer autrement.

On sait que \(y\in f (P)\cap f(Q),\) autrement dit que \(y\in f(P)\) et que \(y\in f(Q)\) ; or \(y\in f (P)\) signifie que \(\exists x\in P,~ y = f(x),\) on va donc prendre un tel \(x\) en disant "prenons \(x\in P\) tel que \(y = f(x)".\) De même \(y\in f(Q)\) va nous donner un \(x'\in Q\) tel que \(y = f(x')\) (attention, il faut prendre ici une autre notation que \(x,\) en effet \(y\in f(Q)\) signifie bien \(\exists x\in Q,~ y = f(x),\) mais il ne faut pas oublier que nous avons déjà un \(x\) dans le problème ; \(y\in f(Q)\) dit que \(y\) a un antécédent dans \("Q",\) mais ne nous dit pas s'il s'agit de \(x).\)

On sait maintenant que \(x\in P,\) que \(x'\in Q,\) que \(y = f(x)\) et que \(y = f(x'),\) donc en particulier que \(f(x) = f(x').\) C'est le bon moment pour utiliser l'hypothèse \("f\) injective" : nous avons maintenant \(x\) et \(x'\) dans \(E\) pour exploiter cette hypothèse. Comme \(f(x) = f(x'),\) on tire \(x = x'.\) Ainsi \(x\) est un élément commun à \("P"\) et \("Q",\) donc \(x\in P\cap Q.\)

On a fabriqué un \(x\in P\cap Q\) tel que \(y = f(x)\) ; on peut donc conclure que \(y\in f (P\cap Q)\) et atteindre le but.

Notre recherche de démonstration est ainsi terminée. Il nous reste à rédiger cette démonstration. Voici dans l'encadré ci-dessous la rédaction telle qu'on pourrait la trouver dans une bonne copie.

Soit \(y\in F\) ; supposons \(y\in f(P)\cap f(Q).\) Comme \(y\in f(P),\) il existe \(x\in P\) tel que \(y = f(x)\) ; de même puisque \(y\in f(Q)\) il existe \(x'\in Q\) tel que \(y = f(x').\)

Ainsi \(f(x) = f(x'),\) d'où \(x = x'\) car \(f\) est injective.

Alors \(x\in P\) et \(x = x'\in Q,\) donc \(x\in P\cap Q,\) et \(y = f(x)\in f(P\cap Q).\)

Conclusion : \(f(P)\cap f(Q)\subset f(P\cap Q).\)

• Combien de quantificateurs, de \(\Rightarrow,\) ... ont été écrits dans cette démonstration ?

• Comment les formules quantifiées de la partie recherche sont-elles évoquées ?

• À quels endroits et de quelle façon les notations sont-elles introduites ? Il s'agit ici des notations \(x,\) \(x'\) et \(y\) car \(E,\) \(F,\) \(P,\) \(Q\) et \(f\) sont données par l'énoncé et n'ont donc pas à être introduites.

• À quels endroits et de quelles façons les hypothèses sont-elles utilisées ?

On trouve souvent dans les copies des suites de formules en guise de démonstration. Sur l'exemple précédent, jugez-vous même de la clarté d'une telle rédaction :

\(f(P)\cap f(Q) = \{ y\in F~|~\exists x\in P,~ y = f(x)~ \textrm{et}~\exists x'\in Q,~ y = f(x')\}\)

\(f(P)\cap f(Q) = \{ y\in F~|~\exists x\in P,~ \exists x'\in Q,~ y = f(x) = f(x')\}\)

\(f~\textrm{ injective}~\Rightarrow\Leftrightarrow x\in E, ~\forall x'\in E, (f(x) = f(x')\Rightarrow x = x')\)

\(f(P) \cap f(Q) = \{ y\in F~|~ \exists x\in P,~\exists x' \in Q,~ y = f(x)~ \textrm{et}~ x = x'\}\)

\(f(P) \cap f(Q) = \{ y\in F~| ~\exists x\in P\cap Q,~ y = f(x)\}\)

\(f(P) \cap f(Q) = f(P\cup Q)\)

D'accord, elle donne l'égalité et pas seulement l'inclusion, mais à quel prix pour la clarté ! Et de toutes façons l'autre inclusion est très facile --- rédigez-la.