Une exception : la démonstration par l'absurde
Il est quelquefois nécessaire d'utiliser cette technique particulière de démonstration. Elle consiste à ajouter comme hypothèse la négation du but, le nouveau but étant alors une contradiction, c'est à dire une propriété du type \(" Z~ et~ non ~Z ",\) où \(Z\) est une propriété quelconque, qui ne figure pas nécessairement dans l'énoncé.
Ne pas abuser des démonstrations par l'absurde : quand il y a une démonstration directe et naturelle, il est lourd de présenter les choses par l'absurde. En particulier, pour démontrer une implication \("P\Rightarrow Q",\) une démonstration du style " supposons que \("Q"\) est fausse, ...donc \("P"\) est fausse. " est une démonstration par contraposition, et pas une démonstration par l'absurde !
Montrer que \(\sqrt 2\)est irrationnel
Pas d'objet donné, pas d'hypothèse,
but : \(\sqrt 2\)n'est pas un quotient d'entiers.
Démonstration :
Démontrons cette propriété par l'absurde : supposons \(\sqrt 2\)rationnel ; on peut écrire \(\sqrt 2= p /q\) où \(p\) et \(q\) sont deux entiers (constater l'introduction de nouveaux objets). Quitte à simplifier la fraction par \(2\) autant de fois qu'il le faut, on se ramène au cas où \(p\) et \(q\) ne sont pas pairs tous les deux.
On a alors \(p^2 = 2q^2.\) Le second membre de cette égalité est pair, donc le premier aussi, ce qui montre que \(p\) est pair, car le carré d'un nombre ne peut être pair que si ce nombre est pair. En écrivant \(p = 2p',\) où \(p'\) est entier, on obtient \(4p'^ 2 = 2q ^2,\) puis \(2p'^ 2 = q^ 2,\) ce qui montre par la méthode déjà utilisée que \(q\) est pair.
En rapprochant les trois propriétés écrites en caractères penchés, on obtient la contradiction cherchée (la formule \(Z\) étant par exemple \("p\) pair et \(q\) pair " ). Le nombre \(\sqrt 2\)est donc irrationnel.