Cardinal d'un ensemble

On ne va pas définir le cardinal d'un ensemble mais se donner les moyens de dire si des ensembles ont le même cardinal ou de comparer des cardinaux. On utilise dans les démonstrations les idées suivantes :

• à tout ensemble est attaché un cardinal et un seul ;

• si deux ensembles peuvent être mis en bijection, on dit qu'ils ont le même cardinal, ou la même puissance ;

• un cardinal est le cardinal d'au moins un ensemble.

• si un ensemble est contenu dans un autre, le cardinal du premier est inférieur ou égal au cardinal du second ; plus généralement, le cardinal d'un ensemble \(E\) est dit inférieur au cardinal d'un ensemble \(F,\) s'il existe une injection de \(E\) dans \(F\) ;

• cette relation définit une relation d'ordre sur les cardinaux ; la transitivité de cette relation est immédiate, l'antisymétrie résulte du théorème de Cantor-Bernstein établi en 1897 :

  Quels que soient les ensembles \(E\) et \(F,\) s'il existe une injection de \(E\) dans \(F\) et une injection de \(F\) dans \(E,\) alors ces deux ensembles sont en bijection.

• on admet que deux cardinaux sont toujours comparables ;

• on désigne par \(\mathcal N_0\) le cardinal de l'ensemble des entiers.