Opérations sur l'ensemble des polynômes formels
Dans ce paragraphe, vont être étudiées les restrictions à l'ensemble des suites à support fini (c'est à dire à l'ensemble des polynômes formels) des opérations sur les suites.
Rappel : opérations sur les suites
Addition et produit d'une suite par un scalaire
Soient \((a_n)_{n\in N}\)et \((b_n)_{n\in N}\) deux suites.
La somme de ces deux suites est une suite \((c_n)_{n\in N}\) définie par \(\forall n\in N\), \(c_n=a_n+b_n\)
Soient \((a_n)_{n\in N}\) une suite à coefficients dans \(K\) et \(\lambda\) un élément de \(K\).
Le produit de cette suite par le scalaire \(\lambda\) est une suite définie par \(\forall n\in N\), \(u_n=\lambda a_n\)
Produit de deux suites
Le produit de ces deux suites est une suite d\(_n=a_n+b_n\) définie par
\(\forall n\in N\), \(d_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}a_kb_{n-k}\)
Remarque : à propos du produit :
Pour le produit de deux suites, ce n'est pas le produit terme à terme qui est pris, mais un produit appelé produit de convolution.
Étude de la restriction de ces opérations aux polynômes formels
Soient \((a_n)_{n\in N}\)et \((b_n)_{n\in N}\) deux polynômes formels. Il existe donc deux entiers \(n_a\) et \(n_b\) tels que :
\(\forall n\in N\), \(n>n_a\), \(a_n=0\) et \(\forall n\in N\), \(n>n_b\),\( b_n=0\)
Alors : \(\forall n\in N\), \(n>max(n_a,n_b)\), \(a_n+b_n=0\)
Les éléments de la suite \((a_n+b_n)_{n\in N}\) sont donc nuls à partir d'un certain rang et c'est donc un polynôme formel.
Il en est immédiatement de même pour la suite \(\alpha (a_n)_{n\in N}\).
Considérons la suite produit \((d_n)_{n\in N}\), dont le terme général est défini par :
\(\forall n\in N\), \(d_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}a_kb_{n-k}\)
Soit \(n\) un entier supérieur à \(n_a+n_b\). Alors pour tout \(k\) compris entre 0 et \(n\), on a ou \(k>n_a\), ou \(n-k>n_b\).
Donc dans un terme de la forme \(a_kb_{n-k}\), l'un au moins des deux scalaires \(a_k\) ou \(b_{n-k}\) est nul, et donc aussi leur produit.
Tous les termes de la somme \(\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}a_kb_{n-k}\) sont donc nuls et par conséquent tous les termes de la suite \((d_n)_{n\in N}\) sont nuls au moins à partir du rang \(n_a+n_b\). C'est donc un polynôme formel.
Il résulte de ces propriétés que l'addition et le produit sont des lois de composition internes dans l'ensemble des polynômes formels, et que le produit par un scalaire est une loi de composition externe sur ce même ensemble, de corps de base \(K\).
Le polynôme \((1,0,0,\ldots\) est l'élément neutre du produit.
Polynôme constant :
L'égalité suivante découle immédiatement de la définition de la loi externe :
\((a,0,0,\ldots)=a(1,0,0,\ldots)\). Un tel polynôme est appelé polynôme constant.
L'application \(T\) de \(K\) dans l'ensemble des polynômes formels qui à un scalaire \(a\) associe le polynôme \((a,0,0,\ldots)\) vérifie les propriétés suivantes :
\(\forall(a,b)\in K\times K\), \(T(a+b)=T(a)+T(b)\)
\(\forall(a,b)\in K\times K\), \(T(ab)=T(a)T(b)\)
\(T(1)=1\)
C'est évidemment une bijection entre \(K\) et l'ensemble des polynômes formels constants. On peut donc identifier le polynôme constant \((a,0,0,\ldots)\) et l'élément \(a\) de \(K\), en particulier on identifie \((1,0,0,\ldots)\) et 1.