Notion d'indéterminée ; notation K[X]
Dans cette partie, est introduite la notion d'indéterminée qui permet, à l'aide des opérations qui viennent d'être étudiées, de retrouver un formalisme plus conforme aux connaissances antérieures.
Définition : de l'indéterminée
Soit le polynôme formel \((a_n)_{n\in N}\) définie par :
\(a_0=0\)
\(a_1=1\)
\(\forall n\in N\), \(n\geq 2\), \(a_n=0\)
Ce polynôme est appelé l'indéterminée et noté par une grande lettre latine \(X\) ou \(Y\) ou \(Z\) ou \(T\) etc.
Dans la suite, l'indéterminée est notée \(X\) et donc \(X=(0,1,0,\ldots)\).
Calcul de \(X^p\), avec p entier supérieur ou égal à 1
Une démonstration par récurrence rapide permet de trouver une expression explicite de \(X^p\), pour \(p\) supérieur ou égal à 1.
D'après la définition, \(X^1=(a_n)_{n\in n}\) avec
\(a_0=0\)
\(a_1=1\)
\(\forall n\in N\), \(n\geq 2\), \(a_n=0\)
Donc on a \(X^1=(0,1,0,\ldots)\). Le 1 est à la deuxième place.
Supposons que \(X^p=(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots)\) où le 1 est à la \(p+1\)- ième place.
Autrement dit \(X^p=(b_n)_{n\in N}\) avec \(\begin{array}{cc}b_{p+1}=1&\\\forall n\in N, n\neq p+1,&b_n=0\end{array}\)
Montrons que \(X^{p+1}=(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots)\) où le 1 est à la \(p+2\)- ième place.
On a \(X^{p+1}=X^pX\).
Donc \(X^{p+1}=(d_n)_{n\in N}\) avec : \(\forall n\in N\), \(d_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}b_ka_{n-k}\)
Or le seul coefficient non nul de la suite \(X^p=(b_n)_{n\in N}\) est \(b_{p+1}\) qui est égal à 1.
Alors, pour tout \(n\) inférieur ou égal à \(p\), le coefficient \(b_{p+1}\) n'intervient dans aucune des sommes \(\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}b_ka_{n-k}\) et donc \(\forall n\in N\), \(n\leq p\), \(b_n=0\).
Si \(n\) est supérieur ou égal à \(p+1\), on peut écrire \(d_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}b_ka_{n-k}=b_{p+1}a_{n-(p+1)}+\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}b_ka_{n-k}\) et donc \(d_n=b_{p+1}a_{n-(p+1)}\). Or le seul coefficient non nul de la suite \(X=(a_n)\) est le coefficient \(a_1\) qui est égal à 1.
Donc, si \(n\) est tel que \(n-(p+1)\) est différent de 1, \(d_n=b_{p+1}a_{n-(p+1)}\) est nul.
Or \(n-(p+1)=1\) équivaut à \(n=p+2\).
Donc si \(n\) est supérieur ou égal à \(p+1\), avec \(n\neq p+2\), \(d_n=0\).
Si \(n=p+2\), \(d_{p+2}=b_{p+1}a_1=1\times 1=1\).
Donc la suite \(X^{p+1}=(d_n)n\in N\) est bien de la forme \(X^{p+1}=(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots)\)
où le 1 est à la \(p+2\)- ième place.
Proposition :
Calcul de \(X^p\), \(p\in N^*\)
Le polynôme formel \(X^p\) est égal à \((e)n\in N\), avec \(\begin{array}{cc}&e_{p+1}=1\\\forall n\in N, n\neq p+1,&e_n=0\end{array}\).
Le théorème suivant résulte immédiatement de ce calcul et des définitions de l'addition et du produit par un scalaire dans l'ensemble des polynômes formels.
Théorème : Écriture d'un polynôme formel à l'aide de l'indéterminée
Soit \(p=(a_k)_{k\in N}\) un polynôme formel à coefficients dans \(K\). Soit \(n\) un entier tel que pour tout entier \(k\) supérieur à \(n\), \(a_k\) soit nul. Alors \(P\) peut s'écrire :
\(a_0+a_X+\ldots+a_nX^n=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\)
L'identification entre le polynôme \((1,0,0,\ldots)\) et le scalaire 1 est utilisée ici.
Remarque :
il résulte de la définition de l'égalité de deux polynômes que \(a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n=0\Leftrightarrow \forall k, 0\leq k\leq n, a_k=0\).
On obtient alors la définition suivante :
Définition :
L'ensemble des suites à support fini à coefficients dans \(K\) est appelé ensemble des polynômes à coefficients dans \(K\).
Si l'on note \(X\) l'indéterminée, cet ensemble est noté \(K[X]\).
Cette définition met en évidence l'importance des coefficients, l'indéterminée servant à repérer la place des coefficients dans la suite.