Définition d'un idéal dans un anneau commutatif
Définition : Idéal dans un anneau commutatif
Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit qu'une partie \(I\) de \(A\) est un idéal de \(A\) si \(I\) vérifie les propriétés suivantes :
\(I\) est non vide
\(I\) est stable pour la soustraction, c'est-à-dire \(\forall (x,y)\in I\times I, x-y\in I\)
Pour tout élément a de A et tout élément x de I, le produit ax appartient à I, autrement dit :
\(\forall a\in A\), \(\forall x\in I\), \(ax\in I\)
Remarque :
les propriétés 1. et 2. signifient que \(I\) est un sous-groupe additif de \(A\). Si besoin est, on peut répartir les difficultés, puisque l'ensemble des propriétés 1. et 2. équivaut à l'ensemble des propriétés :
\(I\neq \varnothing\)
\(\forall(x,y)\in I\times I\), \(x+y\in I\)
\(\forall x\in I\), \(-x\in I\)