Description des idéaux de K[X]

On a déjà vu que l'ensemble des multiples d'un polynôme \(P\) est un idéal de \(K[X]\). Comme dans l'anneau \(Z\), on va démontrer la réciproque.

ThéorèmeCaractérisation des idéaux de K[X]

Pour tout idéal \(I\) de \(K[X]\), il existe un polynôme \(P\) tel que \(I\) soit égal à l'ensemble des multiples de \(P\). Ce qui peut s'écrire :

\(I=PK[X]=\{Q\in K[X]; \exists Q_1\in K[X],Q=PQ_1\}\)

On dit que \(I\) est engendré par \(P\). Si \(I\) n'est pas réduit au polynôme nul, \(P\) est non nul. Si, de plus, on impose à \(P\) d'être unitaire, il est unique.

Remarque

La notation \(PK[X]\) est cohérente avec la notation \(nZ\) (ensemble des multiples dans \(Z\) de l'entier \(n\)).

ComplémentVocabulaire

Un idéal engendré par un élément est appelé un idéal principal. Il résulte du théorème que tous les idéaux de \(K[X]\) sont principaux. On a le même résultat pour \(Z\).

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est appelé un anneau principal. Donc, \(K[X]\) et \(Z\) sont des anneaux principaux.

Démonstrationdu théorème

Premier cas : Le résultat est immédiat si \(I=\{0\}\), il suffit de prendre \(P=0\).

Deuxième cas : Soit \(I\) un idéal de \(K[X]\) non réduit au polynôme nul.

Existence d'un polynôme P satisfaisant au problème :

Soit E l'ensemble des degrés des polynômes non nuls, éléments de \(I\), c'est-à-dire l'ensemble des entiers \(n\) tels qu'il existe \(P\in I\), non nul, avec \(deg(P)=n\). Comme l'idéal \(I\) n'est pas réduit à 0, \(E\) est une partie non vide de \(N\), donc possède \(un plus petit élément soit\) \(n_0\). On a donc les deux propriétés :

\(\forall P\in I\), \(P\neq 0\), \(deg P\geq n_0\)

\(\exists P_0\in I\), \(n_0= deg(P_0)\)

Soit \(P\) un élément quelconque de \(I\). En faisant la division euclidienne de \(P\) par \(P_0\), on obtient :

\(\exists!(Q,R)\in(K[X])^2\), \(P=QP_0+R\), avec \(R=0\) ou \(deg(R)<n_0\)

Comme \(I\) est un idéal de \(K[X]\), \(QP_0\) est un élément de \(I\) ( \(P_0\in I\) et \(Q\in K[X]\)) et par conséquent le polynôme \(R=P-QP_0\) est aussi élément de \(I\).

Si \(R\neq 0\), d'après la définition de \(n_0\), on a l'inégalité : \(deg(R)\geq n_0\).

On a donc une contradiction, puisque d'après la propriété de la division euclidienne on a \(deg(R)<n_0\).

L'hypothèse \(R\neq 0\) est donc absurde et on a \(R=0\).

Alors \(P=QP_0\). Ceci prouve l'inclusion \(I \subset P_0K[X]\).

L'autre inclusion est immédiate, car appartient à I.

Remarque

Le rôle joué par la division euclidienne dans cette démonstration est fondamental ; il en était de même pour \(Z\).

Unicité :

Soit \(P_1\) un autre polynôme tel que \(I=P_1K[X]\). Alors \(P_1K[X]=PK[X]\).

D'après le corollaire vu dans le paragraphe précédent, il existe \(\lambda \in K^*\) tel que \(P=\lambda P_1\).

D'autre part si \(P\) est tel que \(I=PK[X]\), pour toute constante \(c\neq 0\),\(c\in K\), le polynôme \(cP=P_1\) engendre \(I\) (i.e. \(I=P_1K[X]\)).

Tous les polynômes \(P\) tels que \(I=PK[X]\) s'obtiennent donc les uns à partir des autres par multiplication par une constante non nulle ; donc s'ils sont unitaires, ils sont égaux.

On en déduit immédiatement l'existence et l'unicité d'un polynôme unitaire engendrant un idéal non réduit à 0.