Arithmétique dans K[X]

Pour tout idéal \(I\) de \(K[X]\), il existe un polynôme \(P\) tel que \(I\) soit égal à l'ensemble des multiples de \(P\). Ce qui peut s'écrire :

\(I=PK[X]=\{Q\in K[X]; \exists Q_1\in K[X],Q=PQ_1\}\)

On dit que \(I\) est engendré par \(P\). Si \(I\) n'est pas réduit au polynôme nul, \(P\) est non nul. Si, de plus, on impose à \(P\) d'être unitaire, il est unique.

Premier cas : Le résultat est immédiat si \(I=\{0\}\), il suffit de prendre \(P=0\).

Deuxième cas : Soit \(I\) un idéal de \(K[X]\) non réduit au polynôme nul.

Existence d'un polynôme P satisfaisant au problème :

Soit E l'ensemble des degrés des polynômes non nuls, éléments de \(I\), c'est-à-dire l'ensemble des entiers \(n\) tels qu'il existe \(P\in I\), non nul, avec \(deg(P)=n\). Comme l'idéal \(I\) n'est pas réduit à 0, \(E\) est une partie non vide de \(N\), donc possède \(un plus petit élément soit\) \(n_0\). On a donc les deux propriétés :

\(\forall P\in I\), \(P\neq 0\), \(deg P\geq n_0\)

\(\exists P_0\in I\), \(n_0= deg(P_0)\)

Soit \(P\) un élément quelconque de \(I\). En faisant la division euclidienne de \(P\) par \(P_0\), on obtient :

\(\exists!(Q,R)\in(K[X])^2\), \(P=QP_0+R\), avec \(R=0\) ou \(deg(R)<n_0\)

Comme \(I\) est un idéal de \(K[X]\), \(QP_0\) est un élément de \(I\) ( \(P_0\in I\) et \(Q\in K[X]\)) et par conséquent le polynôme \(R=P-QP_0\) est aussi élément de \(I\).

Si \(R\neq 0\), d'après la définition de \(n_0\), on a l'inégalité : \(deg(R)\geq n_0\).

On a donc une contradiction, puisque d'après la propriété de la division euclidienne on a \(deg(R)<n_0\).

L'hypothèse \(R\neq 0\) est donc absurde et on a \(R=0\).

Alors \(P=QP_0\). Ceci prouve l'inclusion \(I \subset P_0K[X]\).

L'autre inclusion est immédiate, car appartient à I.