Introduction
Comme pour le Plus Grand Commun Diviseur, il faut expliciter le vocabulaire. On se place dans \(\mathbb{K} \left[ X \right]\). La situation est tout à fait semblable, à condition de remplacer la notion de diviseur par celle de multiple.
Multiple d'un polynôme :
On dit qu'un polynôme \(P\) est un multiple d'un polynôme \(S\) si \(S\) est un diviseur de \(P\), autrement dit s'il existe un polynôme \(Q\) tel que \(P = S . Q\).
Commun multiple de polynômes :
Il s'agit de polynôme multiple à la fois de plusieurs polynômes donnés.
Par exemple le polynôme \(X^{4} - 1 = (X - 1)(X + 1)(X^{2} + 1)\) est un multiple de \(X^{2} + 1\), de \(X - 1\) et de \(X + 1\). C'est donc un multiple commun aux trois polynômes \(X^{2}+1\), \(X-1\)et \(X+1\).
Plus petit :
Comme pour le PGCD, c'est plus petit pour la relation de divisibilité. Cela signifie que tout polynôme multiple commun des polynômes donnés est un multiple du Plus Petit
On peut remarquer aussi que c'est un polynôme de plus petit degré multiple commun à des polynômes donnés.
Là aussi, le problème fondamental qui se pose est celui de l'existence d'un tel polynôme.
L'outil essentiel, pour le résoudre, est la connaissance de la forme des idéaux de \(\mathbb{K} \left[ X \right]\).