Définition et existence du PPCM de deux polynômes
Nous allons traiter complètement le cas de deux polynômes et nous indiquerons pour chaque propriété si elle se conserve ou pas pour un nombre fini quelconque de polynômes et dans quels termes.
Théorème : Définition du Plus Petit Commun Multiple de deux polynômes
Soient \(P_{1}\) et \(P_{2}\) deux polynômes non tous deux nuls, appartenant à \(\mathbb{K}\left[X\right]\).
Il existe un polynôme \(M\) tel que :
Le polynôme \(M\) est un multiple des polynômes \(P_{1}\) et \(P_{2}\).
Tout polynôme multiple des polynômes \(P_{1}\) et \(P_{2}\) est un multiple de \(M\).
Il existe un seul polynôme unitaire satisfaisant les deux conditions précédentes.
On le note \(\textrm{PPCM}(P_{1}, P_{2})\); c'est le plus petit commun multiple des polynômes \(P_{1}\) et \(P_{2}\).
Preuve :
Le plan de la démonstration de l'existence est le même que pour le PGCD en partant de l'ensemble des multiples communs à \(P_{1}\) et \(P_{2}\) qui est l'intersection de l'ensemble des multiples de \(P_{1}\) et de l'ensemble des multiples de \(P_{2}\). Donc :
On considère l'ensemble noté \(P_{1}~\mathbb{K}[X] \cap P_{2} \mathbb{K} [X]\)
On démontre que cet ensemble est un idéal de \(\mathbb{K}[X]\)
On applique le théorème de caractérisation des idéaux de \(\mathbb{K}[X]\)
On vérifie qu'un générateur \(M\) de l'idéal \(P_{1}~\mathbb{K}[X] \cap P_{2} \mathbb{K} [X]\) satisfait aux deux propriétés de l'énoncé du théorème.
Il est important de noter qu'il résulte de la démonstration de cette caractérisation qu'un tel générateur est un polynôme de \(P_{1}~\mathbb{K}[X] \cap P_{2} \mathbb{K} [X]\) admettant pour degré le plus petit des degrés des éléments de \(P_{1}~\mathbb{K}[X] \cap P_{2} \mathbb{K} [X]\).
On sait aussi que deux générateurs d'un idéal de \(\mathbb{K}[X]\) diffèrent d'une constante multiplicative (ce qui signifie ici que si \(M_{1}\) est un autre polynôme engendrant \(P_{1}~\mathbb{K}[X] \cap P_{2} \mathbb{K} [X]\), il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(M = \lambda M_{1}\)).
On en déduit l'existence d'un unique générateur unitaire qui est appelé le PPCM des polynômes \(P_{1}\) et \(P_{2}\); on le note \(\textrm{PPCM}(P_{1}, P_{2})\)
On peut généraliser cette étude au cas de \(n\) polynômes, avec \(n\) entier supérieur ou égal à 2.
On a alors le théorème suivant :
Théorème : PPCM de n (>= 2) polynômes
Soient \(P_1, P_2, ..., P_n\) des polynômes non nuls. Alors il existe un polynôme \(M \in \mathbb{K} [X]\) tel que :
Le polynôme \(M\) soit un multiple de chacun des \(P_{i}\).
Tout multiple commun aux polynômes \(P_{i}\) est un multiple de \(M\).
Il y a un seul polynôme unitaire satisfaisant les deux propriétés précédentes. On l'appelle le plus petit commun multiple des polynômes \(P_i\) et on le note \(\textrm{PPCM}(P_1,P_2,...,P_n)\).