Arithmétique dans K[X]

Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes unitaires, \(M\) leur \(\textrm{PPCM}\) et \(D\) leur \(\textrm{PGCD}\). Alors il existe deux polynômes \(P_1\) et \(Q_1\), que l'on sait être premiers entre eux, tels que : \(P = D.P_1\) et \(Q = D.Q_1\).

Considérons le polynôme \(D.P_1.Q_1\).

C'est un multiple de \(P\) (\(DP_1Q_1 = P Q_1\)) et de \(Q\) (\(DP_1Q_1 = Q P_1\)). C'est donc un multiple de leur \(\textrm{PPCM}\), à savoir \(M\).

Donc il existe un polynôme \(M'\) tel que \(DP_1Q_1 = MM'\). On en déduit en multipliant cette égalité par \(D\) que : \(PQ = (D P_1)(D Q_1) = (DM) M'\). Cela prouve que \(DM\) divise \(PQ\).

On va démontrer réciproquement que \(DM\) est un multiple de \(PQ\).

D'après le théorème de Bézout, il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que : \(D = PU + QV\).

En multipliant cette égalité par \(M\), on obtient : \(DM = PUM + QVM\)

Comme \(M\) est un multiple de \(Q\), \(PM\) est un multiple de \(PQ\). De même, comme \(M\) est un multiple de \(P\), \(QM\) est un multiple de \(PQ\).

Donc \(DM\) est un multiple de \(PQ\).

Compte tenu des propriétés des multiples d'un polynôme, il existe un scalaire \(\lambda\) non nul tel que \(DM=\lambda PQ\).

Comme tous les polynômes intervenant dans cette formule sont unitaires, cela donne \(\lambda = 1\) et le résultat.