Définition
Dans ce qui suit, nous nous plaçons dans \(K[X]\), sans préciser le corps \(K\). S'il s'avère nécessaire de le faire, cela sera indiqué explicitement.
Définition : d'un polynôme irréductible
Un polynôme \(P\) est dit irréductible sur \(K\) ou irréductible dans \(K[X]\) (\(P\in k [X]\)) s'il est de degré supérieur ou égal à 1 et si les seuls diviseurs de \(P\) sont les polynômes constants non nuls et les polynômes de la forme \(\lambda P\), \(\lambda \in K^*\).
Donc, dire qu'un polynôme \(P\) non constant n'est pas irréductible, c'est dire qu'il a un diviseur non constant de degré strictement plus petit que celui de \(P\). Cela peut être traduit explicitement de la manière suivante : \(P\), polynôme non constant, n'est pas irréductible si et seulement si il existe deux polynômes non constants \(Q\) et \(R\) tels que \(P=QR\).
Vocabulaire : On dit aussi qu'un polynôme non irréductible est un polynôme réductible ou factorisable.
Remarque :
Si \(P\) est un polynôme unitaire, factorisable dans \(K[X]\), on peut toujours choisir des polynômes unitaires \(Q\) et \(R\) tels que \(P=QR\).