Théorème de Gauss et polynômes irréductibles
Les propriétés suivantes pourraient faire l'objet d'exercices, mais comme elles sont très utiles dans la pratique, elles sont énoncées dans le cours. Ce sont des applications immédiates de la définition d'un polynôme irréductible et du théorème de Gauss. Les mêmes théorèmes existent dans \(Z\).
Proposition : PGCD d'un polynôme et d'un polynôme irréductible
Soient \(P\) et \(Q\) deux éléments de \(K[X]\) avec \(P\) non nul et \(Q\) polynôme irréductible sur \(K\). Alors ou bien \(Q\) divise \(P\) ou bien ils sont premiers entre eux.
Preuve :
Soit \(D\) le PGCD de \(P\) et \(Q\). Le polynôme \(D\) est donc un polynôme unitaire et il divise \(Q\). Or \(Q\) est irréductible.
Donc ou bien \(D\) est le polynôme constant égal à 1et \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux, ou bien \(D\) est de la forme \(\lambda Q\), où \(\lambda\) est une constante non nulle (égale à l'inverse du coefficient dominant de \(Q\)). Alors, dans ce dernier cas, on en déduit que \(Q\) divise \(P\). Ce qui achève la démonstration.
Proposition : Polynôme irréductible divisant un produit
Soient \(P\), \(A\) et \(B\) des éléments de \(K[X]\), avec \(P\) irréductible sur \(K\). Si le polynôme \(P\) divise , \(AB\) alors \(P\) divise \(A\) ou \(P\) divise \(B\).
Autrement dit si un polynôme irréductible divise un produit de polynômes, il divise l'un des polynômes.
La démonstration de cette proposition est basée sur le théorème de Gauss.
Soit \(P\) un polynôme irréductible divisant \(AB\).
Supposons qu'il ne divise pas le polynôme \(A\). Alors d'après la proposition précédente, il est premier avec \(A\).
On peut donc appliquer le théorème de Gauss et \(P\) divise \(B\).