Exemples
Exemple : 1
\(L=K\)
C'est l'exemple fondamental. On retrouve la notion bien connue qui a été donnée dans l'introduction.
Il est évident que le corps \(K\) satisfait bien aux hypothèses imposées à \(L\).
Par exemple soit \(P(X)=2X^2-4X+1\) appartenant à \(R[X]\).
Alors \(\tilde{P}(-1)=2(-1)^2-4(-1)+1=7\).
Exemple : 2
\(L\) est un corps contenant \(K\)
Les hypothèses sont satisfaites de manière évidente.
Un exemple de cette situation : soit \(P(X)=X^2+1\) appartenant à \(R[X]\).
Alors, en prenant \(L=C\), on a \(\tilde{P}(i)=i^2+1=0\).
Exemple : 3
\(L=K[X]\)
Là encore, les hypothèses nécessaires sur L sont assurées par les propriétés de \(K[X]\).
Par exemple, soit le polynôme \(P(X)=X^2+1\) dans \(R[X]\), alors d'après la définition ,
\(\tilde{P_L}(X^3)=(X^3)^2+1=X^6+1\) (on a substitué à \(X\) dans l'expression formelle de \(P\)).
Ou encore : \(\tilde{P_L}(X+h)=(X+h)^2+1\), soit \(\tilde{P_L}(X+h)=X^2+2hX+h^2+1\).
C'est l'opération de substitution d'un polynôme dans un autre.
Exemple : 4
\(L=End_K(E)\), où \(E\) est un espace vectoriel sur \(K\)
L'ensemble \(End_K(E)\) des applications linéaires de \(E\) dans \(E\) satisfait bien aux hypothèses de \(L\).
On note \(Id_E\) l'application identique de \(E\).
Alors si \(f\) est un élément de \(End_K(E)\) et \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\) un élément
de \(K[X]\): \(\tilde{P_L}(f)=a_0Id_E+a_1f+\ldots+a_nf^n\).
(notation : \(f^n=f\circ f\circ f\circ \ldots\circ f\), composé de \(n\) endomorphismes égaux à \(f\) )
Exemple : 5
\(L=M_s(K)\) où \(M_s(K)\) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre \(s\) à coefficients dans \(K\) et satisfait bien aux conditions imposées à \(L\).
Alors si \(I_s\) désigne la matrice identité, si \(A\) est un élément de \(M_s(K)\) et
si \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\), alors : \(\tilde{P_L}(A)=a_0I_s+a_1A+\ldots+a_nA^n\).