Liens avec la structure [Fonctions polynômes]

Liens avec la structure

L'ensemble $L$ satisfaisant aux hypothèses du paragraphe précédent (il est donc muni de deux structures compatibles, celle d'anneau et celle d'espace vectoriel sur $K$ ), on désigne par $T_L$ l'application de $K[X]$ dans $F(L,L)$ (algèbre des applications de L dans L pour les opérations usuelles) définie par $P\mapsto \tilde{P_L}$ .

Théorème :

Propriétés de l'application $T_L: P\mapsto \tilde{P_L}$ .

Les propriétés suivantes sont vérifiées :

Pour tout élément $(P,Q)$ de $(K[X])^2$

i. $T_L(P+Q)=T_L(P)+T_L(Q)$
ii. $T_L(PQ)=T_L(P)T_L(Q)$
iii. Si on note " 1 " le polynôme constant égal à $1_K$ , $T_L(1)$ est l'application de $L$ dans $L$ qui à tout élément $x$ de $L$ associe l'élément neutre du produit de $L$ , à savoir $1_L$ .
iv. Pour tout élément $P$ de $K[X]$ et tout $\alpha$ de $K$ , $T_L(\alpha P)=\alpha T_L(P)$ .

Les propriétés i., ii. et iii. caractérisent les homomorphismes d'anneau.

Les propriétés i. et iv. caractérisent les applications linéaires.

On peut dire que est un homomorphisme d'algèbre.

La justification de ces propriétés est immédiate car les lois de compositions sur $K[X]$ ont été définies précisément pour que ces formules soient vraies.