Traduction de la définition
Compte tenu du vocabulaire introduit et des résultats préliminaires qui viennent d'être démontrés, la définition d'endomorphisme diagonalisable peut être traduite de la façon suivante :
Théorème :
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de type fini. On suppose que \(f\) (respectivement \(M\)) possède des valeurs propres, soient \(\lambda_1,\cdots,\lambda_r\). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
L'endomorphisme \(f\) est diagonalisable.
Il existe une base de \(E\) formée de vecteurs propres de \(f\).
L'espace vectoriel \(E\) est somme directe des sous-espaces propres, c'est-à-dire \(E=E_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_r}\).
Remarque :
la troisième condition équivaut à : \(\displaystyle{\textrm{dim }E=\sum_{i=1}^{i=r}\textrm{dim }E_{\lambda_i}}\)
Le point 3. de ce théorème conduit immédiatement à une propriété utile dans la pratique.