Cas où le polynôme caractéristique admet n (n est la dimension de E) racines distinctes
C'est en fait un corollaire du théorème précédent.
Propriété : Condition suffisante de diagonalisation
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\) (ou \(M\) une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\)).
Si le polynôme caractéristique de \(f\) (respectivement de \(M\)) admet \(n\) racines distinctes, alors \(f\) (respectivement \(M\)) est diagonalisable.
Attention :
Cette condition est suffisante mais pas nécessaire. Pour s'en convaincre il suffit de considérer la matrice unité. Elle est trivialement diagonalisable puisqu'elle est déjà diagonale, pourtant son polynôme caractéristique qui est \(P_{\textrm{car},I_n}(X)=(1-X)^{n}\), n'a pas de racines simples dès que \(n\) est supérieur ou égal à \(2\).
Exemple :
Cette propriété, utilisée correctement, est très commode. Soit par exemple la matrice d'ordre \(3\) : \(\left(\begin{array}{ccc}1&6&1\\0&\pi&1\\0&0&3\end{array}\right)\) . Il est immédiat qu'elle est diagonalisable puisque son polynôme caractéristique, égal à \((1-X)(\pi-X)(3-X)\), admet trois racines distinctes.
Preuve : Preuve de la propriété
D'après l'hypothèse, \(f\) a exactement \(n\) valeurs distinctes que l'on note \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\). Comme la dimension d'une somme directe de sous-espaces est égale à la somme des dimensions, on a \(\displaystyle{\textrm{dim }(E_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_n})=\sum_{k=1}^{k=n}\textrm{dim }(E_{\lambda_k})}\).
On a vu que, pour toute valeur propre, on a l'inégalité \(\textrm{dim }E_{\lambda_k}\ge 1\). Il en résulte l'inégalité \(\textrm{dim }(E_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_1})\geq n\). Or \(E_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_n}\) est un sous-espace vectoriel de \(E,\) donc sa dimension est inférieure ou égale à la dimension de \(E\), soit \(n\). Par conséquent dim\((E_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_n})=n\) et on a l'égalité \(E_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_n}=E\), ce qui achève la démonstration compte tenu de la propriété 3. du théorème.