Les énoncés fondamentaux de cette théorie
Somme directe de sous-espaces propres
Soit \(f\) un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\) de type fini. On suppose que \(f\) a au moins deux valeurs propres distinctes. Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à \(2,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\), des valeurs propres distinctes de \(f\) et \(E_{\lambda_1},E_{\lambda_2},\cdots,E_{\lambda_k}\) les sous-espaces propres associés.
Alors la somme \(E_{\lambda_1}+E_{\lambda_2}+\cdots+E_{\lambda_k}\) est directe, autrement dit tout élément \(E_{\lambda_1}+E_{\lambda_2}+\cdots+E_{\lambda_k}\) de s'écrit de manière unique comme somme d'éléments des sous-espaces \(E_{\lambda_1},E_{\lambda_2},\cdots,E_{\lambda_k}\).
Cela est noté
\(E_{\lambda_1}+E_{\lambda_2}+\cdots+E_{\lambda_k}=E_{\lambda_1}\oplus E_{\lambda_2}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_k}\)
Propriété de la dimension des sous-espaces propres
Soit\( f\) un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\) de type fini. On suppose que \(f\) a des valeurs propres et soit \(\lambda\) une valeur propre de \(f\) d'ordre de multiplicité \(n_\lambda\) en tant que racine du polynôme caractéristique. Alors, si \(E_\lambda\) est le sous-espace propre associé à \(\lambda\) , on a l'inégalité :
\(1\leq\textrm{dim }E_\lambda\leq n_\lambda\)
Caractérisation générale d'un endomorphisme diagonalisable
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de type fini. On suppose que \(f\) (respectivement \(M\)) possède des valeurs propres, soient \(\lambda_1,\cdots,\lambda_r\). Alors les conditions suivantes sont équivalentes
L'endomorphisme \(f\) est diagonalisable.
Il existe une base de \(E\) formée de vecteurs propres de \(f\).
L'espace vectoriel \(E\) est somme directe des sous-espaces propres, c'est-à-dire \(E=E_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_r}\).
Condition suffisante de diagonalisation
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n,(n\ge 1)\) (ou \(M\) une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\)).
Si le polynôme caractéristique de \(f\) (respectivement de \(M\)) admet \(n\) racines distinctes, alors \(f\) (respectivement \(M\)) est diagonalisable.
Condition nécessaire et suffisante de diagonalisation faisant intervenir le polynôme caractéristique
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\), (ou \(M\) une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\)).
Pour que \(f\) (respectivement \(M\)) soit diagonalisable, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites :
Le polynôme caractéristique de \(f\) (respectivement de \(M\)) se factorise en un produit de polynômes du premier degré (non nécessairement distincts) à coefficients dans \(\mathbf K\).
Pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.