Synthèse méthodologique
Pour déterminer dans la pratique si un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de type fini ou une matrice de \(M_n(\mathbf K)\) est diagonalisable on peut procéder de la façon suivante :
Actions | Outils |
|---|---|
Calculer le polynôme caractéristique. | Calcul d'un déterminant dépendant d'un paramètre en le factorisant. |
Déterminer ses racines dans K et leur ordre de multiplicité. Décider si le polynôme caractéristique est ou non scindé dans K. | Factorisation d'un polynôme en des polynômes à coefficients dans K. |
Si la réponse est non, s'arrêter. Si la réponse est oui, continuer. | La condition nécessaire et suffisante de diagonalisation faisant intervenir le polynôme caractéristique. |
Chercher la dimension des sous-espaces propres relatifs aux valeurs propres multiples s'il y en a (on sait d'avance que la dimension des sous-espaces propres relatifs aux valeurs propres simples est égale à 1). | Résolution de systèmes linéaires par la méthode du Pivot de Gauss (on sait d'avance que les systèmes considérés ne sont pas de Cramer). |
Dire si l'endomorphisme ou la matrice est diagonalisable en utilisant le théorème. | La condition nécessaire et suffisante de diagonalisation faisant intervenir le polynôme caractéristique. |
Si l'endomorphisme ou la matrice est diagonalisable, déterminer une base de vecteurs propres. Pour cela il suffit d'avoir une base de chacun des sous-espaces propres. En effet, leur somme est directe et égale à E, donc la réunion de ces bases est une base de l'espace E. En fait à ce stade il ne reste plus qu'à chercher une base pour les racines simples du polynôme caractéristique s'il y en a. | Résolution de systèmes linéaires par la méthode du Pivot de Gauss (on sait d'avance que les systèmes considérés ne sont pas de Cramer). |
L'étude est terminée : si l'endomorphisme (ou la matrice) est diagonalisable on a une base de vecteurs propres de f ou une matrice inversible P et une matrice diagonale D telle que \(M=PDP^{-1}\). | |
Théorème : Condition nécessaire et suffisante de diagonalisation faisant intervenir le polynôme caractéristique
Soit \(f\) un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\), (ou \(M\) une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\)).
Pour que \(f\) (respectivement \(M\)) soit diagonalisable, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites :
Le polynôme caractéristique de \(f\) (respectivement de \(M\)) se factorise en un produit de polynômes du premier degré (non nécessairement distincts) à coefficients dans \(\mathbf K\).
Pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Remarque :
Ceci est la méthode standard. Il arrive que l'on puisse résoudre le problème par d'autres considérations comme le prouve la deuxième méthode de l'exemple \(2\)).
C'est aussi le cas lorsque le polynôme caractéristique est scindé et n'a qu'une seule valeur propre donc s'il s'écrit
\(P_{\textrm{car},A}(X)=(-1)^n(X-\alpha)^n\)
Il est clair que si une matrice \(M\) est semblable à une matrice diagonale \(\alpha I_n\) , c'est-à-dire
\(M=P(\alpha I_n)P^{-1}\), alors \(M=\alpha PI_nP^{-1}=\alpha I_n\).
Donc dans ce cas ou bien on est dans le cas trivial, \(M\) égale à la matrice \(\alpha I_n\) (cela se "voit") ou bien \(M\) n'est pas diagonalisable.