Endomorphisme ou matrice diagonalisable

Une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans \(K\) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur \(K\) et pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

1. La matrice \(A\) étant triangulaire supérieure son polynôme caractéristique est \((1-X)(2-X)(3-X)\). Il est scindé et chaque valeur propre a pour multiplicité 1 : elle est donc diagonalisable.

   Pour toutes valeurs de \(\alpha,\beta,\gamma\), la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&\alpha&\beta\\0&2&\gamma\\0&0&3\end{array}\right)\) est semblable à la matrice diagonale \(D=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right)\).

   [2 points]

2. Soit \(f\) l'endomorphisme de \(K^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(B\). La matrice \(B\) étant triangulaire supérieure le polynôme caractéristique de \(f\) est \((1-X)^2(3-X)\).

   [1 point]

   Il est scindé sur \(K\) et f admet deux valeurs propres :

   la valeur propre 1 de multiplicité 2,

   la valeur propre 3 de multiplicité 1.

   La valeur propre 3 étant de multiplicité 1, la dimension du sous-espace propre associé est 1.

   [1 point]

   Soit le sous-espace propre associé à la valeur propre 1, \(E_1\) est le noyau de l'endomorphisme \((f-Id_{K^3})\). Si \(I_3\) est la matrice unité de \(M_3(K)\), la matrice de \((f-Id_{K^3})\) dans la base canonique de \(K^3\) est la matrice \((B-I_3)\). Or \((B-I_3)=\left(\begin{array}{ccc}0&\alpha&\beta\\0&0&\gamma\\0&0&3\end{array}\right)\), si \(\alpha\ne0\) cette matrice est de rang 2 et la dimension de \(E_1\) est 1, si \(\alpha=0\) elle est de rang 1 et la dimension de \(E_1\) est 2.

   L'endomorphisme \(f\) est diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre associée. Par conséquent \(f\) est diagonalisable si et seulement si \(\alpha=0\).

   La matrice \(B\) est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme \(f\) est diagonalisable donc si et seulement si \(\alpha=0\).

   Lorsque \(\alpha=0\), \(B\) est semblable à la matrice diagonale \(D=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\right)\).

   [2 points]

3. Soit \(f\) l'endomorphisme de \(K^3\) dont la matrice dans la base canonique est C. La matrice \(C\) étant triangulaire supérieure le polynôme caractéristique de \(f\) est \((1-X)^3\). Il est scindé et \(f\) admet une seule valeur propre de multiplicité 3.

   [1 point]

   Soit \(E_1\) le sous-espace propre associé à la valeur propre 1, \(E_1\) est le noyau de l'endomorphisme \((f-Id_{K^3})\), et \(f\) est diagonalisable si et seulement si la dimension de \(E_1\) est 3. Si \(I_3\) est la matrice unité de \(M_3(K)\), la matrice de \((f-Id_{K^3})\) dans la base canonique de \(K^3\) est la matrice \((C-I_3)\). Comme \((C-I_{3})=\left(\begin{array}{cccccc}0&\alpha &\beta\\0&0&\gamma\\0&0&0\end{array}\right)\), la dimension de \(E_1\) est 3 si et seulement si la matrice \((C-I_3)\) est la matrice nulle, c'est-à-dire si seulement si \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

   La matrice \(C\) est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme \(f\) est diagonalisable. La matrice \(C=\left(\begin{array}{ccc}1&\alpha&\beta\\0&1&\gamma\\0&0&1\end{array}\right)\) est donc semblable à une matrice diagonale si seulement si \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

   [3 points]