Endomorphisme ou matrice diagonalisable

Comme \(AB=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right)=B=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right)\), \(AB\) est une matrice diagonale donc diagonalisable.

[1 point]

Comme \(BA=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)=B=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\) et \(P_{car,BA}(X),X^2\), \(BA\) admet une seule valeur propre double 0. Comme \(BA\) n'est pas la matrice nulle elle ne peut pas être semblable à la matrice nulle, elle n'est donc pas diagonalisable.

[2 points]

• • Si \(A\) est inversible nous avons \(A^{-1}(AB)A=BA\), donc les matrices \(AB\) et \(BA\) sont semblables.

  • Si \(B\) est inversible nous avons \(B(AB)B^{-1}=BA\), donc les matrices \(AB\) et \(BA\) sont semblables.

  Par conséquent si A et B sont deux matrices de dont l'une, au moins, est inversible alors les matrices et sont semblables.

  [3 points]

• Lorsque deux matrices de \(M_n(K)\) sont semblables, si l'une est diagonalisable l'autre est aussi diagonalisable. En effet si \(M, N, D, P, Q\), sont des matrices de \(M_n(K)\) où \(D\) est une matrice diagonale et \(P, Q\) des matrices inversibles telles que \(M=PDP^{-1}\) et \(N=QMQ^{-1}\), alors \(N=Q(PDP^{-1})Q^{-1}=(QP)D(QP)^{-1}\). Ceci prouve que si \(M\) est semblable à la matrice diagonale \(D\), toute matrice semblable à \(M\) est aussi semblable à la matrice diagonale \(D\).

  Lorsque l'une des matrices \(A\) ou \(B\) est inversible, on a montré précédemment que les matrices \(AB\) et \(BA\) sont semblables. Par conséquent si la matrice \(AB\) est diagonalisable, alors \(BA\) est diagonalisable. La question 1 montre que ce résultat peut être faux lorsque ni \(A\) ni \(B\) ne sont des matrices inversibles.