Endomorphisme ou matrice diagonalisable

Soit \(f\) un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\) sur \(K\). Un vecteur \(u\) de \(E\) est un vecteur propre de \(f\) s'il vérifie les deux conditions suivantes :

• \(u\) est un vecteur non nul,

• il existe un scalaire \(\lambda\) appartenant à \(K\) tel que \(f(u)=\lambda u\).

1. Si le déterminant de \(f\) est nul alors \(f\) n'est pas injective et son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. Il existe des vecteurs \(u\) non nuls de \(E\) tels que \(f(u)=0\). Ces vecteurs sont des vecteurs propres de \(f\) associés à la valeur propre 0 et par conséquent \(f\) admet des vecteurs propres.

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2. Soit \(u\) un vecteur de \(E\) et \(\lambda\) un réel tel que f(u)=\lambda u. On a : \(f^2(u)=f(\lambda u)=\lambda^2u\).

   Si \(f^2=-2Id_E\) on obtient \(\lambda^2u=-2u\) d'où \((\lambda^2+2)u=0\). Comme \(\lambda^2+2>0\), l'égalité \((\lambda^2+2)u=0\) n'est satisfaite que si \(u\) est le vecteur nul. Le seul vecteur \(u\) de \(E\) tel qu'il existe un réel \(\lambda\) vérifiant \(f(u)=\lambda u\) est le vecteur nul, par conséquent \(f\) n'admet pas de vecteur propre.

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3. Lorsque la dimension de \(E\) est impaire nous pouvons montrer que tout endomorphisme de \(E\) admet des vecteurs propres. En effet si la dimension de \(E\) est impaire le polynôme caractéristique de \(f\) est de degré impair. Comme tout polynôme de degré impair à coefficients dans \(R\) admet au moins une racine réelle, le polynôme caractéristique de \(f\) admet au moins une racine réelle et ces racines réelles sont les valeurs propres de \(f\). Par conséquent si \(f\) n'admet pas de vecteur propre la dimension de \(E\) ne peut pas être impaire.

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