Endomorphisme ou matrice diagonalisable

On peut donner un contre-exemple : il existe des matrices inversibles qui ne sont pas diagonalisables. Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)$ de $M_2(K)$ ($K=R$ ou $K=C$). Comme $\textrm{det}(A)=1$, $A$ est inversible. Comme $P_{car,A}(X)=(1-X)^2$, 1 est une valeur propre double de $A$. Soit $E_1$ le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. On a : $\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\end{array}\right)\in E_1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}x+y=x\\y=y\end{array}\right.\Leftrightarrow y=0$.

$E_1$ est la droite vectorielle de $M_{2,1}{K}$ de base $u=\left(\begin{array}{cccccc}1\\0\end{array}\right)$. Le sous-espace vectoriel $E_1$ est de dimension 1 et la valeur propre associée est de multiplicité 2, donc $A$ n'est pas semblable à une matrice diagonale.

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Toute matrice carrée qui admet 0 pour valeur propre n'est pas inversible car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. La matrice $A=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)$ de $M_2(K)$ ($K=R$ ou $K=C$) est une matrice diagonale qui admet pour valeurs propres 1 et 0 donc $A$ n'est pas inversible bien qu'elle soit diagonalisable.

[2 points]

• Comme $M=\left(\begin{array}{cccccc}a&b\\b&a\end{array}\right)$, $\textrm{det}(M)=a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ et on a : $\textrm{det}(M)=0\Leftrightarrow|a|=|b|$

  • Si $|a|=|b|$, $M$ n'est pas inversible car son déterminant est nul.

  • Si $|a|\ne|b|$, $M$ est inversible car son déterminant n'est pas nul.

  [2 points]

• On a $P_{car,M}(X)=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&a-X\end{array}\right|=(a-X)^2-b^2=(a+b-X)(a-b-X)$. Les valeurs propres de $M$ sont $a+b$ et $a-b$.

  • Si $b\ne0$, les réels $a+b$ et $a-b$ sont distincts. La matrice carrée d'ordre 2 admet deux valeurs propres distinctes donc elle est diagonalisable et semblable à la matrice $\left(\begin{array}{cc}a+b&0\\0&a-b\end{array}\right)$.

  • Si $b=0$, on a $M=\left(\begin{array}{cccccc}a&0\\0&a\end{array}\right)$ donc $M$ est une matrice diagonale.

  Par conséquent quels que soient les réels $a$ et $b, M$ est diagonalisable et semblable à la matrice $\left(\begin{array}{cc}a+b&0\\0&a-b\end{array}\right)$.

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