Matrices inversibles et matrices diagonalisables
Durée : 10 mn
Note maximale : 8
Question
Toute matrice inversible est-elle diagonalisable ?
Toute matrice diagonalisable est-elle inversible ?
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et \(M=\left(\begin{array}{cc}a&b\\b&a\end{array}\right)\).
M est-elle inversible ?
M est-elle diagonalisable ?
Solution
On peut donner un contre-exemple : il existe des matrices inversibles qui ne sont pas diagonalisables. Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) de \(M_2(K)\) (\(K=R\) ou \(K=C\)). Comme \(\textrm{det}(A)=1\), \(A\) est inversible. Comme \(P_{car,A}(X)=(1-X)^2\), 1 est une valeur propre double de \(A\). Soit \(E_1\) le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. On a : \(\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\end{array}\right)\in E_1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}x+y=x\\y=y\end{array}\right.\Leftrightarrow y=0\).
\(E_1\) est la droite vectorielle de \(M_{2,1}{K}\) de base \(u=\left(\begin{array}{cccccc}1\\0\end{array}\right)\). Le sous-espace vectoriel \(E_1\) est de dimension 1 et la valeur propre associée est de multiplicité 2, donc \(A\) n'est pas semblable à une matrice diagonale.
[2 points]
Toute matrice carrée qui admet 0 pour valeur propre n'est pas inversible car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. La matrice \(A=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)\) de \(M_2(K)\) (\(K=R\) ou \(K=C\)) est une matrice diagonale qui admet pour valeurs propres 1 et 0 donc \(A\) n'est pas inversible bien qu'elle soit diagonalisable.
[2 points]
Comme \(M=\left(\begin{array}{cccccc}a&b\\b&a\end{array}\right)\), \(\textrm{det}(M)=a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) et on a : \(\textrm{det}(M)=0\Leftrightarrow|a|=|b|\)
Si \(|a|=|b|\), \(M\) n'est pas inversible car son déterminant est nul.
Si \(|a|\ne|b|\), \(M\) est inversible car son déterminant n'est pas nul.
[2 points]
On a \(P_{car,M}(X)=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&a-X\end{array}\right|=(a-X)^2-b^2=(a+b-X)(a-b-X)\). Les valeurs propres de \(M\) sont \(a+b\) et \(a-b\).
Si \(b\ne0\), les réels \(a+b\) et \(a-b\) sont distincts. La matrice carrée d'ordre 2 admet deux valeurs propres distinctes donc elle est diagonalisable et semblable à la matrice \(\left(\begin{array}{cc}a+b&0\\0&a-b\end{array}\right)\).
Si \(b=0\), on a \(M=\left(\begin{array}{cccccc}a&0\\0&a\end{array}\right)\) donc \(M\) est une matrice diagonale.
Par conséquent quels que soient les réels \(a\) et \(b, M\) est diagonalisable et semblable à la matrice \(\left(\begin{array}{cc}a+b&0\\0&a-b\end{array}\right)\).
[2 points]