Valeurs propres d'un polynôme de matrice

Partie

Question

Soient égal à \mathbb R ou \mathbb C, P un polynôme de \mathbf K[X], A une matrice d'ordre n à coefficients dans \mathbf K. On note I_n la matrice unité d'ordre n.

Si P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_pX^p, on note par P(A) la matrice d'ordre n :

P(A)=a_0I_n+a_1A+\cdots+a_pA^p.

  1. Montrer que si \lambda est une valeur propre de A et k un entier strictement positif, alors \lambda^k est une valeur propre de A^k et P(\lambda) est une valeur propre de P(A).

    Que peut-on dire des vecteurs propres correspondants ?

  2. Soient M et N les matrices d'ordre 3 à coefficients complexes définies par :

    M=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right) et N=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\b&a&c\\c&b&a\end{array}\right).

    Montrer qu'il existe un polynôme Q de \mathbb C[X] tel que N=Q(M).

    Déterminer les valeurs propres de N.

    Montrer que les matrices M et N sont diagonalisables.

    En déduire le déterminant de N sous forme d'un produit de trois facteurs.

  3. Soient A et B les matrices d'ordre 4 à coefficients complexes définies par :

    A=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right) et B=\left(\begin{array}{cccc}a&d&c&b\\b&a&d&c\\c&b&a&d\\d&c&b&a\end{array}\right)

    Déterminer un polynôme T de \mathbb C[X] tel que B=T(A).

    Déterminer les valeurs propres de B.

    Les matrices A et B sont-elles diagonalisables ?