Valeurs propres d'un polynôme de matrice [Endomorphisme ou matrice diagonalisable]

Valeurs propres d'un polynôme de matrice

Partie

Question

Soient $\mathbf K$ égal à $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ , $P$ un polynôme de $\mathbf K[X]$ , $A$ une matrice d'ordre $n$ à coefficients dans $\mathbf K$ . On note $I_n$ la matrice unité d'ordre $n$ .

Si $P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_pX^p$ , on note par $P(A)$ la matrice d'ordre $n$ :

$P(A)=a_0I_n+a_1A+\cdots+a_pA^p$ .

Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre de $A$ et $k$ un entier strictement positif, alors $\lambda^k$ est une valeur propre de $A^k$ et $P(\lambda)$ est une valeur propre de $P(A)$ .
Que peut-on dire des vecteurs propres correspondants ?
Soient $M$ et $N$ les matrices d'ordre $3$ à coefficients complexes définies par :
$M=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\b&a&c\\c&b&a\end{array}\right)$ .
Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ de $\mathbb C[X]$ tel que $N=Q(M)$ .
Déterminer les valeurs propres de $N$ .
Montrer que les matrices $M$ et $N$ sont diagonalisables.
En déduire le déterminant de $N$ sous forme d'un produit de trois facteurs.
Soient $A$ et $B$ les matrices d'ordre $4$ à coefficients complexes définies par :
$A=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cccc}a&d&c&b\\b&a&d&c\\c&b&a&d\\d&c&b&a\end{array}\right)$
Déterminer un polynôme $T$ de $\mathbb C[X]$ tel que $B=T(A)$ .
Déterminer les valeurs propres de $B$ .
Les matrices $A$ et $B$ sont-elles diagonalisables ?

Aide simple

2. On remarque que $N=aI_3+bM+cU$ où $U$ est une matrice à déterminer comme une puissance de $M$ .

Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit des éléments de la diagonale.

2. Une matrice $A$ est diagonalisable si l'espace vectoriel considéré (ici $M_{n,1}(\mathbf K)$ ) admet une base de vecteurs propres de $A$ . Une condition suffisante pour qu'une matrice soit diagonalisable est que son polynôme caractéristique soit scindé dans $\mathbf K$ et ait toutes ses racines simples.

Aide à la lecture

$\lambda$ et $P(\lambda)$ sont des éléments de $\mathbf K$ , car $P(\lambda)$ est la valeur en $\lambda$ de la fonction polynôme associée au polynôme $P$ .
$A$ et $P(A)$ sont des matrices carrées d'ordre $n$ .
Les vecteurs propres de $A$ sont des éléments de $M_{n,1}(\mathbf K)$ , espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et $1$ colonne.

Solution détaillée

Soient $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $V$ un vecteur propre associé, $V$ appartient à $M_{n,1}(\mathbf K)$ , espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et $1$ colonne.
Donc $AV=\lambda V$ .
On montre la propriété suivante : $A^kV=\lambda^kV$ , pour tout entier $k$ strictement positif.
La propriété est vraie pour $k=1$ .
Supposons-la vraie pour un entier $j$ : $A^jV=\lambda^jV$ .
Comme $A^{j+1}V=AA^jV=A(\lambda^jV)=\lambda^jAV$ , on a bien $A^{j+1}V=\lambda^{j+1}V$ .
La propriété est donc héréditaire, comme elle est vraie pour l'entier $1$ , elle est vraie pour tout entier $k$ strictement positif.
Donc si $\lambda$ est une valeur propre de $A$ , associée au vecteur propre $V$ , alors $\lambda^k$ est une valeur propre de $A^k$ associée au même vecteur propre $V$ .
Et les vecteurs propres de $A$ sont des vecteurs propres de $A^k$ .
On en déduit l'égalité suivante :
$P(A)(V)=(a_0I_n+a_1A+\cdots+a_pA^p)V=a_0V+a_1\lambda V+\cdots+a_p\lambda^pV$ ,
donc $P(A)V=P(\lambda)V$ .
Si $\lambda$ est une valeur propre de $A$ associée au vecteur propre $V$ , $P(\lambda)$ est une valeur propre de $P(A)$ associée au même vecteur propre $V$ .
Les vecteurs propres de $A$ sont des vecteurs propres de $P(A)$ .
On calcule $M^2$ . On trouve :
$M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)$ ,
donc $N=aI_3+bM+cM^2$ , où $I_3$ est la matrice unité d'ordre $3$ .
D'où $N=Q(M)$ , avec $Q(X)=a+bX+cX^2$ .
Pour connaître les valeurs propres de $N$ , on commence par chercher les valeurs propres de $M$ .
Pour connaître les valeurs propres de $M$ , on calcule son polynôme caractéristique $\textrm{det}(M-XI_3)$ . On trouve :
$P_{\textrm{car},M}(X)=-(X^3-1)$
Les valeurs propres de $M$ sont donc $1$ , $\displaystyle{j=\textrm{exp}\left(\frac{2i\pi}{3}\right)}$ et $\displaystyle{j^2=\textrm{exp}\left(\frac{4i\pi}{3}\right)}$ .
La matrice $M$ d'ordre $3$ a trois valeurs propres distinctes, donc $M$ est diagonalisable :
L'espace vectoriel $M_{3,1}(\mathbb C)$ admet une base de vecteurs propres de $M$ . D'après la question 1. , ces vecteurs propres sont aussi des vecteurs propres de $N$ donc $N$ est aussi diagonalisable, et ses valeurs propres sont $Q(1), Q(j)$ et $Q(j^2)$ .
Comme $j^3=1$ , les valeurs propres de $N$ sont :
$a+b+c, a+bj+cj^2, a+bj^2+cj$ .
Comme $N$ est semblable à une matrice diagonale $D$ , son déterminant est égal au produit des éléments de la diagonale de $D$ , qui sont les valeurs propres de $N$ .
On en déduit : $\textrm{det }N=(a+b+c)(a+bj+cj^2)(a+bj^2+cj)$ où $\displaystyle{j=\textrm{exp}\left(\frac{2i\pi}{3}\right)}$ .
On procède de même pour $A$ et $B$ . On trouve :
$A^2=\left(\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}\right)$ , $A^3=\left(\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{array}\right)$ ,
et donc $B=aI_4+bA+cA^2+dA^3$ .
Le polynôme caractéristique de $A$ est $X^4-1$ , donc la matrice $A$ a quatre valeurs propres distinctes qui sont $1, -1, i$ et $–i$ , où $i$ est le nombre complexe vérifiant $i^2=-1$ .
Et pour les mêmes raisons que celles données à la question 3. , les matrices $A$ et $B$ sont diagonalisables, et les valeurs propres de $B$ sont :
$a+b+c+d, a-b+c-d, a+bi-c-di, a-bi-c+di$