Soient \lambda une valeur propre de A et V un vecteur propre associé, V appartient à M_{n,1}(\mathbf K), espace vectoriel des matrices à n lignes et 1 colonne.
Donc AV=\lambda V.
On montre la propriété suivante : A^kV=\lambda^kV, pour tout entier k strictement positif.
La propriété est vraie pour k=1.
Supposons-la vraie pour un entier j : A^jV=\lambda^jV.
Comme A^{j+1}V=AA^jV=A(\lambda^jV)=\lambda^jAV, on a bien A^{j+1}V=\lambda^{j+1}V.
La propriété est donc héréditaire, comme elle est vraie pour l'entier 1, elle est vraie pour tout entier k strictement positif.
Donc si \lambda est une valeur propre de A, associée au vecteur propre V, alors \lambda^k est une valeur propre de A^k associée au même vecteur propre V.
Et les vecteurs propres de A sont des vecteurs propres de A^k.
On en déduit l'égalité suivante :
P(A)(V)=(a_0I_n+a_1A+\cdots+a_pA^p)V=a_0V+a_1\lambda V+\cdots+a_p\lambda^pV,
donc P(A)V=P(\lambda)V.
Si \lambda est une valeur propre de A associée au vecteur propre V, P(\lambda) est une valeur propre de P(A) associée au même vecteur propre V.
Les vecteurs propres de A sont des vecteurs propres de P(A).
On calcule M^2. On trouve :
M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right),
donc N=aI_3+bM+cM^2, où I_3 est la matrice unité d'ordre 3.
D'où N=Q(M), avec Q(X)=a+bX+cX^2.
Pour connaître les valeurs propres de N, on commence par chercher les valeurs propres de M.
Pour connaître les valeurs propres de M, on calcule son polynôme caractéristique \textrm{det}(M-XI_3). On trouve :
P_{\textrm{car},M}(X)=-(X^3-1)
Les valeurs propres de M sont donc 1, \displaystyle{j=\textrm{exp}\left(\frac{2i\pi}{3}\right)} et \displaystyle{j^2=\textrm{exp}\left(\frac{4i\pi}{3}\right)}.
La matrice M d'ordre 3 a trois valeurs propres distinctes, donc M est diagonalisable :
L'espace vectoriel M_{3,1}(\mathbb C) admet une base de vecteurs propres de M. D'après la question 1. , ces vecteurs propres sont aussi des vecteurs propres de N donc N est aussi diagonalisable, et ses valeurs propres sont Q(1), Q(j) et Q(j^2).
Comme j^3=1, les valeurs propres de N sont :
a+b+c, a+bj+cj^2, a+bj^2+cj.
Comme N est semblable à une matrice diagonale D, son déterminant est égal au produit des éléments de la diagonale de D, qui sont les valeurs propres de N.
On en déduit : \textrm{det }N=(a+b+c)(a+bj+cj^2)(a+bj^2+cj) où \displaystyle{j=\textrm{exp}\left(\frac{2i\pi}{3}\right)}.
On procède de même pour A et B. On trouve :
A^2=\left(\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}\right), A^3=\left(\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{array}\right),
et donc B=aI_4+bA+cA^2+dA^3.
Le polynôme caractéristique de A est X^4-1, donc la matrice A a quatre valeurs propres distinctes qui sont 1, -1, i et –i, où i est le nombre complexe vérifiant i^2=-1.
Et pour les mêmes raisons que celles données à la question 3. , les matrices A et B sont diagonalisables, et les valeurs propres de B sont :
a+b+c+d, a-b+c-d, a+bi-c-di, a-bi-c+di