Suite récurrente

Partie

Question

Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels et \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par :

\(\left\{\begin{array}{lllll}u_0=a&\\u_1=b&\\u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n&\forall n\in\mathbb N\end{array}\right.\)

On considère, pour tout entier \(n\) positif ou nul, le vecteur colonne \(X_n=\left(\begin{array}{c}u_n\\u_{n+1}\end{array}\right)\) appartenant à \(M_{2,1}(\mathbb R)\) (espace vectoriel sur \(\mathbb R\) des matrices à \(2\) lignes et \(1\) colonne).

  1. Montrer qu'on a l'égalité \(X_{n+1}=AX_n\), où \(A\) est une matrice carrée d'ordre 2, à déterminer.

  2. En déduire l'égalité \(X_n=A^nX_0\), pour tout entier \(n\) positif ou nul.

  3. Montrer que \(A\) est semblable à une matrice diagonale. Calculer \(A^n\).

  4. En déduire une formule donnant la valeur de \(u_n\) en fonction de \(a, b\) et \(n\).

Aide simple

  1. Chercher \(A\) sous la forme \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) et déterminer \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) de telle sorte que \(\left(\begin{array}{c}u_{n+1}\\u_{n+2}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}u_n\\u_{n+1}\end{array}\right)\).

Aide méthodologique

3. Si \(A\) est semblable à une matrice \(D\), alors il existe une matrice \(P\) inversible telle que \(A=PDP^{-1}\), et par suite \(A^n=PD^nP^{-1}\), \(D^n\) étant facile à calculer si \(D\) est diagonale.

Aide à la lecture

La suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est totalement déterminée par la donnée de ses deux premiers termes et par la relation \(u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n\) ;

ainsi \(u_2=u_1+2u_0=b+2a,u_3=u_2+2u_1=(b+2a)+2b=2a+3b\), etc.

Le but de l'exercice est de trouver une valeur explicite de \(u_n\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(n\), en se servant de la théorie de la diagonalisation.

Solution détaillée

  1. On a \(X_n=\left(\begin{array}{c}u_n\\u_{n+1}\end{array}\right)\) et \(X_{n+1}=\left(\begin{array}{c}u_{n+1}\\u_{n+2}\end{array}\right)\).

    On cherche \(A\) sous la forme \(A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) telle que \(X_{n+1}=AX_n\) d'où

    \(\left(\begin{array}{c}u_{n+1}\\u_{n+2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u_n\\u_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}au_n+bu_{n+1}\\cu_n+du_{n+1}\end{array}\right)\)

    Or \(u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n\), on remarque que les valeurs \(a=0\), \(b=1\), \(c=2\), \(d=1\) conviennent.

    On en déduit l'égalité \(X_{n+1}=AX_n\), où \(A\) est la matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\2&1\end{array}\right)\).

  2. On veut montrer la propriété suivante :

    Pour tout entier \(n\), \(X_n=a^nX_0\). (1)

    Comme \(A^0=I_2\) où \(I_2\) est la matrice unité d'ordre 2, la propriété (1) est vraie pour \(n=0\).

    Supposons-la vraie pour l'entier \(p\), on a donc : \(X_p=A^pX_0\).

    Comme \(X_{p+1}=AX^p\), alors \(X_{p+1}=A^{p+1}X_0\).

    La propriété (1) est héréditaire ; comme elle est vraie pour l'entier \(p=0\), elle est vraie pour tout entier \(n\) positif ou nul.

  3. Comme la matrice \(A\) est \(A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\2&1\end{array}\right)\), son polynôme caractéristique est égal à \(X^2-X-2\). Ce polynôme admet deux racines distinctes \(-1\) et \(2\), donc \(A\) est diagonalisable et est semblable à la matrice diagonale \(D\) :

    \(D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&2\end{array}\right)\)

    Il existe donc une matrice inversible \(P\) telle \(A=PDP^{-1}\).

    Cela entraîne \(A^n=PD^nP^{-1}\).

    Pour déterminer une telle matrice \(P\), on considère l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb R^2\) dont la matrice dans la base canonique est \(A\), et on cherche une base de vecteurs propres de \(f\) : la matrice \(P\) sera la matrice de passage de la base canonique à cette base de vecteurs propres.

    On détermine le sous-espace propre \(E_{-1}=\textrm{Ker }(f+Id_{\mathbb R^2})\):

    \((x,y)\in E_{-1}\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}1&1\\2&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow x+y=0\)

    Ceci prouve que \(E_{-1}\) est un sous-espace vectoriel de dimension 1 dont une base est formée du vecteur \((1,-1)\).

    On détermine le sous-espace propre \(E_2=\textrm{Ker }(f-2Id_{\mathbb R^2})\) :

    \((x,y)\in E_2\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}-2&1\\2&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow2x-y=0\)

    Ceci prouve que \(E_{-2}\) est un sous-espace vectoriel de dimension 1 dont une base est formée du vecteur \((1,2)\).

    Les deux vecteurs \((1,-1)\) et \((1,2)\) forment donc, dans \(\mathbb R^2\), une base de vecteurs propres de \(f\) et la matrice de passage de la base canonique à cette base de vecteurs propres, \(P=\left(\begin{array}{cc}1&1\\-1&2\end{array}\right)\), est une matrice qui vérifie \(A=PDP^{-1}\), avec D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&2\end{array}\right).

    En calculant l'inverse de \(P\), par exemple en utilisant la formule \(\displaystyle{P^{-1}=\frac{1}{\textrm {det }P}\quad^t(\textrm{com }P})\), où \(\textrm{com }P\) est la matrice des cofacteurs, on obtient :

    \(P^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2&-1\\1&1\end{array}\right)}\)

    D'où \(A^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\-1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}(-1)^n&0\\0&2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2/3&-1/3\\1/3&1/3\end{array}\right)\). En calculant ce produit on obtient :

    \(\displaystyle{A^n=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2(-1)^n+2^n&(-1)^{n+1}+2^n\\2(-1)^{n+1}+2^{n+1}&(-1)^n+2^{n+1}\end{array}\right)}\)

  4. Comme \(X_n=A^nX_0\), on a

    \(\displaystyle{\left(\begin{array}{c}u_n\\u_{n+1}\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2(-1)^n+2^n&(-1)^{n+1}+2^n\\2(-1)^{n+1}+2^{n+1}&(-1)^n+2^{n+1}\end{array}\right)}\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\)

    donc

    \(\displaystyle{u_n=\frac{2(-1)^n+2^n}{3}a+\frac{(-1)^{n+1}+2^n}{3}b}\) ou \(\displaystyle{u_n=\frac{2^n}{3}(a+b)+\frac{(-1)^n}{3}(2a-b)}\)