On a X_n=\left(\begin{array}{c}u_n\\u_{n+1}\end{array}\right) et X_{n+1}=\left(\begin{array}{c}u_{n+1}\\u_{n+2}\end{array}\right).
On cherche A sous la forme A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) telle que X_{n+1}=AX_n d'où
\left(\begin{array}{c}u_{n+1}\\u_{n+2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u_n\\u_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}au_n+bu_{n+1}\\cu_n+du_{n+1}\end{array}\right)
Or u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n, on remarque que les valeurs a=0, b=1, c=2, d=1 conviennent.
On en déduit l'égalité X_{n+1}=AX_n, où A est la matrice A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\2&1\end{array}\right).
On veut montrer la propriété suivante :
Pour tout entier n, X_n=a^nX_0. (1)
Comme A^0=I_2 où I_2 est la matrice unité d'ordre 2, la propriété (1) est vraie pour n=0.
Supposons-la vraie pour l'entier p, on a donc : X_p=A^pX_0.
Comme X_{p+1}=AX^p, alors X_{p+1}=A^{p+1}X_0.
La propriété (1) est héréditaire ; comme elle est vraie pour l'entier p=0, elle est vraie pour tout entier n positif ou nul.
Comme la matrice A est A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\2&1\end{array}\right), son polynôme caractéristique est égal à X^2-X-2. Ce polynôme admet deux racines distinctes -1 et 2, donc A est diagonalisable et est semblable à la matrice diagonale D :
D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&2\end{array}\right)
Il existe donc une matrice inversible P telle A=PDP^{-1}.
Cela entraîne A^n=PD^nP^{-1}.
Pour déterminer une telle matrice P, on considère l'endomorphisme f de \mathbb R^2 dont la matrice dans la base canonique est A, et on cherche une base de vecteurs propres de f : la matrice P sera la matrice de passage de la base canonique à cette base de vecteurs propres.
On détermine le sous-espace propre E_{-1}=\textrm{Ker }(f+Id_{\mathbb R^2}):
(x,y)\in E_{-1}\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}1&1\\2&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow x+y=0
Ceci prouve que E_{-1} est un sous-espace vectoriel de dimension 1 dont une base est formée du vecteur (1,-1).
On détermine le sous-espace propre E_2=\textrm{Ker }(f-2Id_{\mathbb R^2}) :
(x,y)\in E_2\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc}-2&1\\2&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow2x-y=0
Ceci prouve que E_{-2} est un sous-espace vectoriel de dimension 1 dont une base est formée du vecteur (1,2).
Les deux vecteurs (1,-1) et (1,2) forment donc, dans \mathbb R^2, une base de vecteurs propres de f et la matrice de passage de la base canonique à cette base de vecteurs propres, P=\left(\begin{array}{cc}1&1\\-1&2\end{array}\right), est une matrice qui vérifie A=PDP^{-1}, avec D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&2\end{array}\right).
En calculant l'inverse de P, par exemple en utilisant la formule \displaystyle{P^{-1}=\frac{1}{\textrm {det }P}\quad^t(\textrm{com }P}), où \textrm{com }P est la matrice des cofacteurs, on obtient :
P^{-1}=\displaystyle{\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2&-1\\1&1\end{array}\right)}
D'où A^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\-1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}(-1)^n&0\\0&2^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2/3&-1/3\\1/3&1/3\end{array}\right). En calculant ce produit on obtient :
\displaystyle{A^n=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2(-1)^n+2^n&(-1)^{n+1}+2^n\\2(-1)^{n+1}+2^{n+1}&(-1)^n+2^{n+1}\end{array}\right)}