Suite récurrente

Partie

Question

Soient et b des nombres réels et (u_n)_{n\in\mathbb N} la suite définie par :

\left\{\begin{array}{lllll}u_0=a&\\u_1=b&\\u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n&\forall n\in\mathbb N\end{array}\right.

On considère, pour tout entier n positif ou nul, le vecteur colonne X_n=\left(\begin{array}{c}u_n\\u_{n+1}\end{array}\right) appartenant à M_{2,1}(\mathbb R) (espace vectoriel sur \mathbb R des matrices à 2 lignes et 1 colonne).

  1. Montrer qu'on a l'égalité X_{n+1}=AX_n, où A est une matrice carrée d'ordre 2, à déterminer.

  2. En déduire l'égalité X_n=A^nX_0, pour tout entier n positif ou nul.

  3. Montrer que A est semblable à une matrice diagonale. Calculer A^n.

  4. En déduire une formule donnant la valeur de u_n en fonction de a, b et n.