Endomorphisme de R^3 (1)
Partie
Question
On considère l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb R^3\) dont la matrice relativement à la base canonique est :
\(A=\left(\begin{array}{ccc}-2&4&2\\-4&8&4\\5&-10&-5\end{array}\right)\)
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).
Interpréter géométriquement le résultat.
Aide méthodologique
Pour déterminer les valeurs propres de \(f\) on calcule le polynôme caractéristique de \(f\). Les valeurs propres de \(f\) sont les racines du polynôme caractéristique de \(f\).
Utiliser les résultats de la question précédente pour comprendre comment on construit l'image par \(f\) d'un vecteur \(v\) de \(\mathbb R^3\) en décomposant celui-ci en somme de vecteurs propres.
Aide à la lecture
2. Il s'agit de déterminer si l'endomorphisme \(f\) est une homothétie, une projection, une symétrie ou une affinité.
Solution détaillée
Pour déterminer les valeurs propres de \(f\) on calcule le polynôme caractéristique ; on peut cependant prévoir que l'une des valeurs propres est \(0\) car la matrice \(A\) est visiblement non inversible, en effet les trois colonnes (ou les trois lignes) sont proportionnelles.
\(P_{\textrm{car},f}(X)=\left|\begin{array}{ccc}-2-X&4&2\\-4&8-X&4\\5&-10&-5-X\end{array}\right|\)
En faisant les opérations suivantes : \(C_2\leftarrow C_2-2C_3\), et \(C_1\leftarrow C_1+C_3\), on obtient :
\(P_{\textrm{car},f}(X)=\left|\begin{array}{ccc}-X&0&2\\0&-X&4\\-X&2X&-5-X\end{array}\right|=X^2\left|\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&4\\1&-2&-5-X\end{array}\right|\). En retranchant la ligne 1 de la ligne 3, on a finalement :
\(P_{\textrm{car},f}(X)=X^2\left|\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&4\\0&-2&-7-X\end{array}\right|=X^2(1-X)\).
On a donc deux valeurs propres : \(\lambda_1=1\) qui est simple, et \(\lambda_2=0\) qui est double.
On appelle \(E_1\) le sous-espace associé à la valeur propre \(\lambda_1=1\) et \(E_2\) le sous-espace associé à la valeur propre \(\lambda_2=0\).
Soit \((x,y,z)\in\mathbb R^3\)
\(u=(x,y,z)\in E_1\Leftrightarrow(f-Id)(u)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llllll}-3x+4y+2z=0&L_1\\-4x+7y+4z=0&L_2\\5x-10y-6z=0&L_3\end{array}\right.\)
En faisant les opérations élémentaires \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) et \(L_3\leftarrow L_3+3L_1\), on obtient le système équivalent :
\(\left\{\begin{array}{lllll}-3x+4y+2z=0\\2x-y=0\\-4x+2y=0\end{array}\right.\)
D'où \(\left\{\begin{array}{llllll}y=2x\\\displaystyle{z=-\frac{5}{2}x}\end{array}\right.\)
Le sous-espace propre \(E_1\) est donc la droite vectorielle de base \(u_1=(2,4,-5)\).
On détermine le sous-espace propre \(E_2\) qui est égal au noyau de \(f\).
\(u=(x,y,z)\in E_2\Leftrightarrow f(u)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lllll}-2x+4y+2z=0\\-4x+8y+4z=0\\5x-10y-5z=0\end{array}\right.\)
Les trois équations de ce système sont équivalentes à \(-x+2y+z=0\). C'est une équation du plan vectoriel engendré par les vecteurs \(u_2=(1,0,1)\) et \(u_3=(2,1,0)\) ; ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils constituent une base de \(E_2\).
Pour chaque valeur propre la dimension du sous-espace propre associé est égale à l'ordre de multiplicité de cette valeur propre : l'endomorphisme \(f\) est diagonalisable.
Les vecteurs propres \(u_1,u_2,u_3\) déterminent une base de \(\mathbb R^3\) et la matrice de \(f\) dans cette base est :
\(A'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\)
La droite vectorielle \(E_1\) et le plan vectoriel \(E_2\) étant supplémentaires, tout vecteur \(v\) s'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur de \(E_1\) et d'un vecteur de \(E_2\): \(v=v_1+v_2\)
Si on calcule l'image de \(v\) par \(f\) on a :
\(f(v)=f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=1v_1+0v_2=v_1\)
L'endomorphisme \(f\) est donc la projection sur \(E_1\) parallèlement à \(E_2\).
