Endomorphisme de R^3 (2)
Partie
Question
On considère l'endomorphisme de \(\mathbb R^3\) dont la matrice relativement à la base canonique \((e_1,e_2,e_3)\) est :
\(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right)\)
Calculer \(f(e_2)\), \(f(e_1+e_3)\), \(f(e_1-e_3)\).
En déduire que \(f\) est diagonalisable et déterminer \(A'\) la matrice de \(f\) dans une base de vecteurs propres.
Interpréter géométriquement le résultat.
Aide méthodologique
Ne pas oublier que les colonnes de la matrice \(A\) donnent \(f(e_1)\), \(f(e_2)\) et \(f(e_3)\).
Utiliser la question précédente pour construire une base de \(\mathbb R^3\) formée de vecteurs propres de \(f\).
Connaissant les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\), voir comment on construit l'image par \(f\) d'un vecteur \(v\) de \(\mathbb R^3\) en décomposant celui-ci en somme de vecteurs propres.
Aide à la lecture
3. Il s'agit de déterminer si l'endomorphisme \(f\) est une homothétie, une projection, une symétrie ou une affinité.
Solution détaillée
D'après la matrice \(A\) on a :
\(f(e_1)=e_3\)
\(f(e_2)=e_2\)
\(f(e_3)=e_1\)
D'où
\(f(e_1+e_3)=e_3+e_1=e_1+e_3\)
\(f(e_1-e_3)=e_3-e_1=-(e_1-e_3)\)
On en déduit que \(e_2\) et \(e_1+e_3\) sont des vecteurs propres associés à la valeur propre \(\lambda_1=1\) et que \(e_1-e_3\) est un vecteur propre associé à la valeur propre \(\lambda_2=-1\).
Les vecteurs \(e_2\), \(e_1+e_3\) et \(e_1-e_3\) sont linéairement indépendants, en effet l'équation :
\(\alpha_1(0,1,0)+\alpha_2(1,0,1)+\alpha_3(1,0,-1)=(0,0,0)\)
est équivalente au système \(\left\{\begin{array}{llll}\alpha_2+\alpha_3&=0\\\alpha_1&=0\\\alpha_2-\alpha_3&=0\end{array}\right.\) qui a pour unique solution \(\left\{\begin{array}{lllll}\alpha_1=0\\\alpha_2=0\\\alpha_3=0\end{array}\right.\).
La dimension de \(\mathbb R^3\) étant égale à \(3\), ces vecteurs déterminent une base de \(\mathbb R^3\) ; on a donc obtenu une base de vecteurs propres de \(f\), cet endomorphisme est donc diagonalisable et sa matrice relativement à cette base est :
\(A'=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right)\)
L'endomorphisme \(f\) a deux valeurs propres \(\lambda_1=1\) d'ordre 2 et \(\lambda_2=-1\) simple ; le sous-espace propre \(E_1\) associé à \(\lambda_1=1\) est le plan vectoriel engendré par \(e_2\), \(e_1+e_3\) et le sous-espace propre \(E_2\) associé à \(\lambda_2=-1\) est la droite vectorielle engendrée par \(e_1-e_3\).
Les sous-espaces \(E_1\) et \(E_2\) sont supplémentaires : \(\mathbb R^3=E_1\oplus E_2\).
Tout vecteur \(v\) s'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur de \(E_1\) et d'un vecteur de \(E_2\) : \(v=v_1+v_2\)
Si on calcule l'image de \(v\) par \(f\) on a :
\(f(v)=f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=1v_1+(-1)v_2=v_1-v_2\)
L'endomorphisme \(f\) est donc la symétrie par rapport à \(E_1\) parallèlement à \(E_2\).
Remarque : Si on considère l'espace euclidien \(\mathbb R^3\) muni de la base orthonormée \((e_1,e_2,e_3)\), les vecteurs \(e_2\), \(e_1+e_3\) et \(e_1-e_3\) sont orthogonaux deux à deux ; \(f\) est donc la symétrie orthogonale par rapport au plan \(E_1\).
