Endomorphisme de RxR avec paramètre
Partie
Question
On considère l'endomorphisme de \(\mathbb R^2\) dont la matrice relativement à la base canonique est :
\(A=\left(\begin{array}{cc}\textrm{cos }2\alpha&\textrm{sin }2\alpha\\\textrm{sin }2\alpha&-\textrm{cos }2\alpha\end{array}\right)\) où \(\alpha\) est élément de \([0,\pi[\).
Montrer que pour tout \(\alpha\) cette matrice est semblable à une matrice diagonale indépendante de \(\alpha\).
Donner une interprétation géométrique de l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb R^2\) dont la matrice relativement à la base canonique est \(A\).
Aide simple
Pour trouver les valeurs propres de \(A\), on calcule son polynôme caractéristique.
Aide méthodologique
Il suffit de démontrer que la matrice \(A\) a des valeurs propres indépendantes de \(\alpha\) et qu'elle est toujours diagonalisable.
Solution détaillée
On peut d'abord remarquer que pour les valeurs de \(\alpha\) qui annulent \(\textrm{sin }2\alpha\) la matrice est déjà diagonale ; plus précisément
si \(\alpha=0\), \(A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\),
si \(\displaystyle{\alpha=\frac{\pi}{2}}\) \(A=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right)\).
Pour déterminer les valeurs propres dans le cas général, on calcule le polynôme caractéristique :
\(P_{\textrm{car},A}(X)=\left|\begin{array}{cc}\textrm{cos }2\alpha-X&\textrm{sin }2\alpha\\\textrm{sin }2\alpha&-\textrm{cos }2\alpha-X\end{array}\right|=X^2-\textrm{cos}^22\alpha-\textrm{sin}^22\alpha\)
\(P_{\textrm{car},A}(X)=X^2-1\)
La matrice \(A\) a donc deux valeurs propres distinctes indépendantes de \(\alpha\) : \(\lambda_1=1\) et \(\lambda_2=-1\). On peut en déduire que \(A\) est diagonalisable et qu'elle est semblable à la matrice
\(A'=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\).
Soit \(f\) l'endomorphisme de \(\mathbb R^2\) dont la matrice dans la base canonique \((e_1,e_2)\) est \(A\).
Les valeurs propres de \(f\) sont \(\lambda_1=1\) et \(\lambda_2=-1\); on détermine les droites vectorielles \(E_1\) et \(E_2\) qui sont les sous-espaces propres respectivement associés à \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).
Soit \((x,y)\in\mathbb R^2\)
\((x,y)\in E_1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llllll}(\textrm{cos }2\alpha-1)x+(\textrm{sin }2\alpha)y&=0\\(\textrm{sin }2\alpha)x-(\textrm{cos }2\alpha+1)y&=0\end{array}\right.\)
\((x,y)\in E_1\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lllll}-2(\textrm{sin}^2\alpha)x+2(\textrm{cos }\alpha\textrm{ sin }\alpha)y&=0\\2(\textrm{cos }\alpha\textrm{ sin }\alpha)x-2(\textrm{cos}^2\alpha)y&=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lllll}-\textrm{sin }\alpha((\textrm{sin }\alpha)x-(\textrm{cos }\alpha)y)&=0\\\textrm{cos }\alpha((\textrm{sin }\alpha)x)-(\textrm{cos }\alpha)y)&=0\end{array}\right.\)
Les constantes \(\textrm{sin }\alpha\) et \(\textrm{cos }\alpha\) n'étant pas simultanément nulles le système est équivalent à la seule équation : \((\textrm{sin }\alpha)x-(\textrm{cos }\alpha)y=0\).
On obtient ainsi l'équation cartésienne de la droite vectorielle \(E_1\) dont une base est le vecteur \(u_1=(\textrm{cos }\alpha,\textrm{sin }\alpha)\). Cette droite est l'ensemble des vecteurs \(u\) tels que \(f(u)=u\), c'est-à-dire invariants par \(f\).
De même,
\((x,y)\in E_2\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llll}(\textrm{cos }2\alpha+1)x+(\textrm{sin }2\alpha)y&=0\\(\textrm{sin }2\alpha)x-(\textrm{cos }2\alpha-1)y&=0\end{array}\right.\)
\((x,y)\in E_2\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llll}2(\textrm{cos}^2\alpha)x+2(\textrm{cos }\alpha\textrm{ sin }\alpha)y&=0\\2(\textrm{cos }\alpha\textrm{ sin }\alpha)x+2(\textrm{sin}^2\alpha)y&=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llll}\textrm{cos }\alpha((\textrm{cos }\alpha)x+(\textrm{sin }\alpha)y)&=0\\\textrm{sin }\alpha((\textrm{cos }\alpha)x)+(\textrm{sin }\alpha)y)&=0\end{array}\right.\)
Les constantes \(\textrm{cos }\alpha\) et \(\textrm{sin }\alpha\) n'étant pas simultanément nulles le système est équivalent à la seule équation : \((\textrm{cos }\alpha)x+(\textrm{sin }\alpha)y=0\).
On obtient ainsi l'équation cartésienne de la droite vectorielle \(E_2\) dont une base est le vecteur \(u_2=(-\textrm{sin }\alpha,\textrm{cos }\alpha)\). Cette droite est l'ensemble des vecteurs \(u\) tels que \(f(u)=-u\), c'est-à-dire transformés en leur opposé par \(f\).
Les droites vectorielles \(E_1\) et \(E_2\) sont supplémentaires, donc tout vecteur \(v\) de \(\mathbb R^2\) s'écrit de manière unique \(v=v_1+v_2\) avec \(v_1\in E_1\) et \(v_2\in E_2\).
D'où \(f(v)=f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=1v_1+(-1)v_2=v_1-v_2\)
L'endomorphisme \(f\) est donc la symétrie par rapport à \(E_1\) parallèlement à \(E_2\).
Remarque : Si on considère l'espace euclidien \(\mathbb R^2\) muni de la base orthonormée \((e_1,e_2)\) , les vecteurs \(u_1=(\textrm{cos }\alpha,\textrm{sin }\alpha)\) et \(u_2=(-\textrm{sin }\alpha,\textrm{cos }\alpha)\) sont orthogonaux ; \(f\) est donc la symétrie orthogonale par rapport à la droite \(E_1\). De plus, le réel \(\alpha\) peut être interprété comme une mesure de l'angle déterminé par \((e_1,u_1)\).
