Sous-espace stable par un endomorphisme
Définition : Définition d'un sous-espace stable par un endomorphisme
Soit \(E\) un \(\mathbf K\)-espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\). On dit qu'un sous-espace \(F\) de \(E\) est stable par \(f\) si :
\(f(F)\subset F\)
ce qui équivaut à :
\(\forall x\in F,f(x)\in F\)
La restriction de \(f\) à un sous-espace \(F\) de \(E\) est l'application :
\(\begin{array}{cccccc}F&\to&E\\x&\mapsto&f(x)\end{array}\)
C'est encore une application linéaire.
Si \(F\) est un sous-espace stable par \(f\), la restriction de \(f\) à \(F\) permet de définir une application de \(F\) dans \(F\), notée\( f_{|F}\), qui est un endomorphisme de \(F\). Par abus de langage, on l'appelle encore restriction de \(f\) à \(F\).
C'est une des raisons de l'importance de la notion de sous-espace stable.
Exemple :
Si \(f\) est un endomorphisme d'un espace de type fini, admettant des valeurs propres, tout sous-espace propre de \(f\) est stable par \(f\).
Interprétation en termes de matrice
On suppose \(E\) de type fini. Soit \(F\) un sous-espace de \(E\), stable par \(f\). On considère une base de \(E\) obtenue en complétant une base \(B_F\) de \(F\). Alors la matrice associée à \(f\) dans cette base est de la forme \(\left(\begin{array}{cc}A&B\\0&C\end{array}\right)\) où \(A\) est la matrice associée à la restriction \(f_{|F}\) de \(f\) à \(F\) par rapport à \(B_F\).
Généralisation
Soit \(E\) un espace de type fini. On suppose que \(E\) est somme directe de sous-espaces \(F_i\), stables par \(f\), ce qui s'écrit \(E=F_1\oplus\cdots\oplus F_k\), avec pour tout \(i,1\leq i\leq k,f(F_i)\subset F_i\) . Soit une base de \(E\) obtenue en prenant la réunion de bases \(B_{F_i}\) de \(F_i\), alors la matrice associée à \(f\) dans cette base est de la forme
\(\left(\begin{array}{cccc}A_1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&A_k\end{array}\right)\)
où \(A_i\) est la matrice associée à la restriction \(f_{|F_i}\) de \(f\) à \(F_i\) par rapport à \(B_{F_i}\).