Polynôme minimal de la restriction à un sous-espace stable et applications
Cas d'un sous-espace stable
Proposition : Polynôme minimal de la restriction à un sous-espace stable
Soit \(F\) un sous-espace de \(E\), stable par \(f\). Alors le polynôme minimal de la restriction de \(f\) à \(F\) divise le polynôme minimal de \(f\).
Soit une matrice \(M\) de la forme \(\left(\begin{array}{cc}A&B\\0&C\end{array}\right)\). Alors le polynôme minimal de \(A\) divise le polynôme minimal de \(M\).
Preuve :
Il est clair que la propriété concernant les endomorphismes entraîne immédiatement la propriété concernant les matrices.
Puisque le polynôme minimal de \(f\) est un polynôme annulateur de \(f\), pour tout élément \(v\) de \(E\), on a \((P_{\textrm{min},f}(f))(v)=0\).
Ceci est vrai en particulier pour tout élément \(v\) de \(F\). Or si \(v\) appartient à \(F,(P_{\textrm{min},f}(f))(v)=(P_{\textrm{min},f}(f_{|F}))(v)\). Donc :
\(\forall v\in F,\left(P_{\textrm{min},f}(f_{|F})\right)(v)=0\).
D'où \(P_{\textrm{min},f}(f_{|F})=0\).
Le polynôme minimal de \(f\) est un polynôme annulateur de \(f_{|F}\). Donc c'est un multiple du polynôme minimal de \(f_{|F}\).
Cas d'une somme directe de sous-espaces stables
Il résulte immédiatement de la proposition précédente que, si \(E=V_1\oplus\cdots\oplus V_r\), le polynôme minimal de \(f\) est un multiple de chacun des polynômes \(P_{\textrm{min},f_i}(X)\), où \(f_i=f_{|V_i}\), donc de leur PPCM. La réciproque est vraie comme le prouve le théorème suivant :
Théorème : Expression du polynôme minimal lorsque l'espace est somme directe de sous-espaces stables
Soit \(E\) un espace de type fini et \(f\) un endomorphisme de \(E\). On suppose que \(E=V_1\oplus\cdots\oplus V_r\) où les \(V_i\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\), stables par \(f\). On note, pour tout \(i,1\leq i\leq r,f_i\) la restriction de \(f\) à \(V_i\).
Alors :
\(P_{\textrm{min},f}(X)=\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f_i}(X))\)
Soit \(v\) un élément quelconque de \(E\).
On peut l'écrire \(v=v_1+\cdots+v_r\) avec, pour tout \(i,1\leq i\leq r,v_i\) élément de \(V_i\).
On note \(Q\) le \(\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f_i}(X))\). Alors
\(Q(f)(v)=Q(f)(v_1)+\cdots+Q(f)(v_r)=Q(f_1)(v_1)+\cdots+Q(f_r)(v_1)\)
Comme, pour tout \(i,1\leq i\leq r,Q\) est un multiple du polynôme minimal de \(f_i\), on a : \(\forall i,1\leq i\leq r,Q(f_i)=0\).
Donc : \(\forall v\in E,\quad Q(f)(v)=0\) et par conséquent \(Q(f)=0\).
Le polynôme \(Q\) est un polynôme annulateur de \(f\) donc c'est un multiple du polynôme minimal de \(f\). Comme ces deux polynômes sont unitaires, \(\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f_i}(X))\) et \(P_{\textrm{min},f}(X)\) sont égaux.
Interprétation en termes matriciels
On en déduit immédiatement le résultat suivant :
Théorème :
Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\), qui se présente comme un tableau diagonal de matrices carrées, soit
\(A=\left(\begin{array}{cccc}A_1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&A_k\end{array}\right)\)
Alors :
\(P_{\textrm{min},A}(X)=\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},A_i}(X))\)
Exemple :
Soit la matrice à coefficients dans \(\mathbb C\),
Cette matrice se décompose en blocs sous la forme :
avec :
(tous les autres blocs étant nuls).
Il est immédiat que \(P_{\textrm{min},A_2}(X)=X\) puisque \(A_2\) est la matrice nulle.
La matrice \(A_1\) a une seule valeur propre qui est \(0\). Or on est dans \(\mathbb C\), donc on sait que le polynôme minimal de \(A_1\) est scindé. Donc le polynôme minimal de \(A_1\) est de la forme \(X^r\). Pour le déterminer exactement, on calcule les puissances successives de \(A_1\) et on s'arrête dès que l'on trouve la matrice nulle. On obtient
\(A_1^2=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right),A_1^3=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\) donc \(P_{\textrm{min},A_1}(X)=X^3\)
On peut faire exactement le même raisonnement pour \(A_3\) donc \(P_{\textrm{min},A_3}(X)=X^3\).
Alors \(P_{\textrm{min},A}(X)=\textrm{PPCM}(X,X^3)=X^3\).