Troisième méthode : méthode matricielle utilisant la comatrice
Cette démonstration, purement matricielle, est valable dans des conditions générales puisqu'elle n'utilise que les propriétés d'anneaux de \(\mathbf K\). Elle est donc aussi valable dans le cas de matrices à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.
Si son point de départ semble plus naturel que les précédentes, elle est assez lourde en calculs et nécessite de se placer dans l'ensemble des polynômes à coefficients dans l'anneau non commutatif \(M_n(\mathbf K)\), ce qui suppose beaucoup de précautions.
En particulier, on identifiera le polynôme \(AX^s\) où \(A\) est la matrice de termes général \(a_{i,j}\) et la matrice à coefficients dans \(\mathbf K[X]\) de termes général \(a_{i,j}X^s\). Cela provient de l'existence d'une isomorphisme naturel entre \(M_n(\mathbf K[X])\) et \([M_n(\mathbf K)][X]\).
Soit \(M\) une matrice élément de \(M_n(\mathbf K)\); sa comatrice est notée \(\textrm{Com}(M)\). Rappelons que c'est la matrice des cofacteurs de \(M\), le cofacteur d'indice \((i,j)\) étant le produit par \((-1)^{i+j}\) du déterminant de la matrice obtenue en supprimant la \(i\)-ème ligne et \(j\)-ème colonne.
Le point de départ de la démonstration est la suite d'égalités :
\((M-XI_n)^t\textrm{Com}(M-XI_n)={}^t\textrm{Com}(M-XI_n)(M-XI_n)=\textrm{det}(M-XI_n)I_n\)
équivalentes à :
\((M-XI_n)^t\textrm{Com}(M-XI_n)={}^t\textrm{Com}(M-XI_n)(M-XI_n)=P_{\textrm{car},M}(X)I_n\)
Les règles du calcul matriciel sont l'outil fondamental : elles permettent de développer le terme de gauche de cette égalité. L'autre propriété essentielle dans la preuve est le résultat suivant :
Si \(A_0,A_1,\cdots,A_s\) sont des matrices éléments de \(M_n(\mathbf K)\) telles que
\((*)\quad A_0+A_1X+\cdots+A_sX^s=0\)
alors, pour tout \(k,0\leq k\leq s,\quad A_k=0\) .
Attention :
Il s'agit de polynôme à coefficients dans un anneau non commutatif. Mais le résultat général est encore vrai.
Preuve : Preuve de la propriété
Si l'on note \(A_k=(a_{i,j,k})_{\begin{array}{cccccc}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n\end{array}}\), la relation \((*)\) entraîne, pour tout couple \((i,j)\), la relation \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{k=s}a_{i,j,k}X^k}=0\), qui est une relation dans \(\mathbf K[X]\). Compte tenu des propriétés des polynômes, cela implique pour tout couple \((i,j)\), les égalités : \(\forall k, 0\leq k\leq s,a_{i,j,k}=0\) et par conséquent \(\forall k, 0\leq k\leq s,A_k=0\).
Démonstration : Démonstration complète de la troisième méthode
En supprimant une ligne et une colonne de la matrice \(M-XI_n\), on supprime un terme en \(X\) et par conséquent les cofacteurs sont des éléments de \(\mathbf K_{n-1}[X]\) (algèbre dont les éléments sont le polynôme nul et les polynômes de degré inférieur ou égal à \(n-1\)).
Il en résulte l'écriture \({}^t\textrm{Com}(M-XI_n)=A_0+A_1X+\cdots+A_{n-1}X^{n-1}\) où les matrices \(A_k\) sont des éléments de \(M_n[\mathbf K].\)
D'où, en effectuant le produit, on obtient l'égalité
\(\displaystyle{(M-XI_n)^t\textrm{Com}(M-XI_n)=A_0M+\sum_{k=1}^{k=n-1}(A_kM-A_{k-1})X^k-A_{n-1}X^n}\)
Si \(P_{\textrm{car},M}(X)=\alpha_0+\alpha_1X+\cdots+\alpha_nX^n\),
il vient \(P_{\textrm{car},M}(X)I_n=\alpha_0I_n+(\alpha_1I_n)X+\cdots+(\alpha_nI_n)X^n\).
Alors l'égalité \((M-XI_n)^t\textrm{Com}(M-XI_n)=P_{\textrm{car},M}(X)I_n\) équivaut à :
\(\displaystyle{A_0M+\sum_{k=1}^{k=n-1}(A_kM-A_{k-1})X^k-A_{n-1}X^n=\alpha_0I_n+(\alpha_1I_n)X+\cdots+(\alpha_1I_n)X^n}\)
D'où, en utilisant le résultat indiqué au début :
\(\displaystyle{\begin{array}{llll}A_0M=\alpha_0I_n\\ A_kM-A_{k-1}=\alpha_kI_n,1\leq k\leq n-1\\A_{n-1}=-\alpha_nI_n\end{array}}\)
Si l'on était parti de l'égalité \(\displaystyle{{}^t\textrm{Com}(M-XI_n)(M-XI_n)=\textrm{det}(M-XI_n)I_n=P_{\textrm{car},M}(X)I_n}\), on aurait obtenu de la même façon les égalités :
\(\displaystyle{\begin{array}{llll}MA_0=\alpha_0I_n\\ MA_k-A_{k-1}=\alpha_kI_n,1\leq k\leq n-1\\A_{n-1}=-\alpha_nI_n\end{array}}\)
Par conséquent on a :
\(\displaystyle{\begin{array}{llll}A_0M=MA_0=\alpha_0I_n\\A_kM=MA_k=A_{k-1}+\alpha_kI_n,1\leq k\leq n-1\\A_{n-1}=-\alpha_nI_n\end{array}}\)
Alors en remplaçant dans \(P_{\textrm{car},M}(M)=\alpha_0I_n+(\alpha_1I_n)M+\cdots+(\alpha_0I_n)M^n\) les \(\alpha_kI_n\) par les expressions obtenues ci dessus, les termes s'éliminent deux à deux.
En effet on a :
\(\displaystyle{\begin{array}{lllll}P_{\textrm{car},M}(M)=\alpha_0I_n+(\alpha_1I_n)M+(\alpha_2I_n)M^2+\cdots+(\alpha_nI_n)M^n\\=A_0M+(A_1M-A_0)M+(A_2M-A_1)M^2+\cdots+(A_{n-1}M-A_{n-2})M^{n-1}+(-A_{n-1})M^n\\=A_0M+A_1M^2-A_0M+A_2M^3-A_1M^2+\cdots+A_{n-1}M^n-A_{n-2}M^{n-1}-A_{n-1}M^n\end{array}}\)
et donc \(P_{\textrm{car},M}(M)=0\).